Alternants and continuous groups. (Q1500949)

Der Verf. hat des Verständnis seiner Arbeit durch Anwendung gewisser Symbole, namentlich durch die ziemlich überflüssige Einführung der ``Bases of alternants'' etwas erschwert. Ich muß\ daher darauf verzichten, seinen Gedankengang wiederzugeben, und benüge mich, einige seiner Resultate in etwas anderer Form mitzuteilen. Es handelt sich um folgendes: Führt man nacheinander zwei Transformationen: \(f'=e^{tXf}\) und \(f'=e^{\tau Yf}\) aus, die von den infinitesimalen Transformationen \(Xf\) und \(Yf\) erzeugt sind, so erhält man eine Transformation, von der zu erwarten ist, daß\ sie von einer infinitesimalen Transformation \(Zf\) erzeugt und also in der Form: \(f'=e^{Zf}\) darstellbar ist, und daß\ \(Zf\) eine unendliche Reihe von aus \(Xf\) und \(Yf\) gebildeten Klammerausdrücken wird. In der Tat ergibt sich, wenn man \[ (( X \overset \nu Y ) Y)=( X \overset {\nu+1} Y) \] setzt: \[ Xf= \sum_0^\infty \nu \frac{(-1)^\nu}{(\nu+1)!} \left( \frac{\partial Z}{\partial t} \overset \nu Z \right), \] \[ Yf=\sum_0^\infty \nu \frac 1{(\nu+1)!} \left( \frac{\partial Z}{\partial t} \overset \nu Z \right) \] und daraus, wenn \[ \frac u{e^u-1}= \sum_0^\infty \nu \lambda_\nu u^\nu \] gesetzt wird: \[ \frac{\partial Zf}{\partial t} = \sum_0^\infty \nu (-1)^\nu \lambda_\nu (X \overset \nu Z), \] \[ \frac{\partial Zf}{\partial \tau}= \sum_0^\infty \nu \lambda_\nu (Y\overset \nu Z), \] woraus unter anderem die \textit{Schur}schen Formeln für die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe ohne weiteres folgen. Es sind im Grunde solche und ähnliche Formeln, die der Verf. ableitet, und die er insbesondere benutzt, um eine Rekursionsformel zur wirklichen Berechnung von \(Zf\) abzuleiten. Er faßt jedoch das ganze Theorem zunächst nicht gruppentheoretisch, sondern als die Aufgabe, die symbolische Exponentialgleichung: \(e^C=e^A \cdot e^B\) nach \(C\) aufzulösen, wenn die Multiplikation bloß\ assoziativ, nicht kommutativ ist, und die unmittelbar angebbare Auflösung: \[ C= (e^A e^B-1) - \tfrac 12(e^A e^B-1)^\alpha +\cdots \] aus alternierenden Produkten von \(A\) und \(B\) zusammenzusetzen. Dieselbe Auffassung hat in übersichtlicherer und einfacherer Darstellung inzwischen \textit{Hausdorff} entwickelt in der Arbeit: ``Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie'' (Leipz. Ber. \textit{58}, 19-48, 1906). Die \textit{Baker}sche Abhandlung, die \textit{Hausdorff} entgangen war, enthält jedoch schon einen sehr wesentlichen Teil der von \textit{Hausdorff} gefundenen Resultate.