On the theory of Fermat quotients \(\frac{a^{p-1}-1}p=q(a)\). (Q1501028)

Setzt man \[ q(a)= \frac{a^{p-1}-1}p \] (\(p\) ungerade Primzahl), so genügt die Funktion \(q(a)\) verschiedenen Kongruenzeigenschaften, die der Verf. in der vorliegenden Arbeit angibt. Die hauptsächlichsten Resultate sind die folgenden: Es wird \[ \sum_{a=1}^{p-1} q(a) \equiv \frac{(p-1)! +1}p \pmod p. \] Ist \([z]\) das größte Ganze von \(z\), so ist: \[ q(a) \equiv \sum_{\nu=1}^{p-1}\;\frac 1{\nu \cdot a}\;\left[ \frac {\nu \cdot a}p \right] \pmod p \] für jede zu \(p\) prime ganze Zahl \(a\). Diese Kongruenz ergibt für \(a=2,4, 8, \cdots\) interessante Anwendungen. Ferner führt sie auf \[ \sum_{a=1}^{p-1} aq(q) \equiv \tfrac 12 \pmod p. \] Mittels Einführung des \textit{Legendre}schen Symbols \(\left( \frac \nu p \right)\) beweist der Verf. die Relation: \[ \sum_{\nu=1}^{p-1} \left( \frac \nu p \right) q(\nu) \equiv 0 \pmod p, \] falls \(p \equiv 3\pmod 4\) ist, und \[ \sum_{\nu=1}^{p-1} \left( \frac \nu p \right) q(\nu) \equiv (-1)^{\frac {p-5}4} \cdot 2 \cdot B_n \pmod p, \] falls \(p \equiv 1\pmod 4\) und \(B_n\) die \(n\)-te \textit{Bernoulli}sche Zahl ist. Ist \(\text{Cl}(-p)\) die Klassenanzahl des quadratischen Körpers \(\mathbb Q(\sqrt{-p})\), so ist \[ \begin{aligned} \sum_{\nu=1}^{p-1} \left( \frac \nu p \right) \nu q(\nu) & \equiv 0\pmod p, \quad \text{wenn} \quad p \equiv 1\pmod 4\\ & \equiv \text{Cl}(-p)\pmod p, \quad \text{wenn} \quad q \equiv 3\pmod 4.\end{aligned} \] Eine Anwendung dieser Formeln ist das Resultat, daß\ die unbestimmte Gleichung \[ ax-py=1 \] gelöst wird durch \[ x=a- 12 \sum_{\nu=1}^{p-1}\;\nu \cdot \left[ \frac {a\nu}p \right] \quad (p \text{ Primzahl}). \] Zum Schlusse werden ähnliche Kongruenzen auch für einen zusammengesetzten Modul \(n\) gebildet durch Betrachtung der allgemeinen Funktion: \[ q(a) = \frac{ a^{\varphi(m)}-1} m \quad (a \text{ prim zu } m). \]