Theory of polygonal residues. (Q1501030)

Ist \(m\) eine bestimmte ganze rationale Zahl \(\geqq 3\), so betrachtet der Verf. den Bereich der Zahlen \[ F(a)= \frac 2{m-2}\;a + \tfrac 12\;\frac{m-4}{m-1}\,, \quad a=1,2 ,3, \dots, \] die er mit kleinen griechischen Buchstaben \(\alpha, \beta, \dots\) bezeichnet. Für diese Zahlen definiert er als additive Operation \[ \alpha\,(+)\,\beta=\alpha+\beta-\tfrac12\;\frac{m-4}{m-2}\,, \] als multiplikative Operation \[ \alpha (\cdot) \beta= \left(\tfrac m2 -1 \right) \alpha \cdot \beta - \left( \tfrac m4 -1 \right) (\alpha+\beta)+ \tfrac m8\;\frac{m-4}{m-2}\,. \] Die beiden Operationen befriedigen das kommutative, assoziative und distributive Gesetz; da ferner \(\alpha<\beta\), wenn \(a<b\), so kann man für diese Zahlen \(\alpha,\beta, \dots\) genau dieselbe Zahlentheorie entwickeln, wie für die ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers. Insbesondere gelten der \textit{Fermat}sche Satz und der \textit{Wilson}sche Satz. Aber auch die ganze Theorie der quadratischen Reste wird für das System der \(\alpha, \dots\) entwickelt und das quadratische Reziprozitätsgesetz bewiesen. Der Zweck dieser Theorie liegt in der Anwendung auf die Polygonalreste. Die Zahlen \(\frac 12 [(m-2) a^2 -(m-4)a]\) \((a=1,2, 3, \dots)\) sind die \(m\)-Eckszahlen. Unter dem \(m\)-\textit{Ecksrest} von \(k\) versteht man eine Zahl, die nach \(k\) einer \(m\)-Eckszahl kongruent ist. Ist \(k\) zu \(2(m-2)\) prim, so heißt \(k\) regulärer Modul. Aus der Theorie der quadratischen Reste der \(\alpha, \beta, \dots\) ergibt sich dann einfach, daß\ \(l\) \textit{dann und nur dann \(m\)-Ecksrest} des regulären Moduls \(k\) ist, wenn \((8m-16) l-(m-4)^2\) \textit{quadratischer Rest von \(k\) ist}. Schließlich geht der Verf. auch noch auf den Fall irregulärer Moduln ein.