On the diophantine equations \(x^\lambda +y^\lambda =cz^\lambda\). (Q1501066)

Die Gleichung \(x^\lambda +y^\lambda=cz^\lambda\) enthält die berühmte \textit{Fermat}sche Gleichung \(x^\lambda+y^\lambda =z^\lambda\) als Spezialfall. Der Verf. sucht auf ähnliche Weise wie \textit{Kummer} aus der Theorie der \(\lambda\)-ten Einheitswurzeln über die Möglichkeit respektive Unmöglichkeit der Auflösbarkeit dieser allgemeineren Gleichung in speziellen Fällen etwas aussagen zu können. Seine Resultate sind: Die Gleichung: \[ x^a +y^a = a\cdot z^a \quad (a>2) \] ist in ganzen reellen Zahlen unmöglich zu lösen, falls 1. \(a \equiv 0\)\,(mod.\,4), 2. falls \(a\) gerade und durch eine Primzahl der Form \(4n+3\) teilbar ist, 3. falls \(2<a\leqq 100\) und \(a \neq 37, 59, 67, 74\), 4. falls \(a\) keinen Primteiler \(>17\) hat. Die Gleichung \[ x^a +y^a =b \cdot a \cdot z^a \] ist unmöglich in reellen ganzen Zahlen zu lösen, falls 1. \(a \equiv 0\)\,(mod.\,4), \(b \not \equiv 0\) (mod.\,4), 2. falls \(a\) von der Form \(4n+2\) und teilbar durch einen Primteiler \(\lambda =4h+3\) ist, während \(b \not \equiv 0\) (mod.\,\(\lambda\)). Hieraus erscheint es dem Verf. wahrscheinlich, daß\ die beiden Gleichungen: \[ x^a+y^a =az^a, \quad x^a+y^a =2az^a \] unmöglich sind zu lösen für \(a>2\), resp. \(a>3\).