On the relation \(\left( \frac Dp \right)=(-1)^{n-h}\) and the reciprocity law. (Q1501087)

(JFM 36.0286.03) Ist \(n\) der Grad eines Körpers und \(h\) die Gesamtzahl aller reellen und der Paare konjugiert-imaginärer Wurzeln einer den Körper bestimmenden Gleichung, so sind die Basisdiskriminanten des Körpers sämtlich positiv oder sämtlich negativ, je nachdem \(n-h\) gerade oder ungerade ist. Dieser Satz läßt sich in der Weise verallgemeinern, daß\ man das Verhalten des Basisdiskriminanten \(D\) rücksichtlich einer Primzahl \(p\) untersucht; ist alsdann \[ D= p^s D_0, \] wo \(p^s\) die höchste in \(D\) enthaltene Potenz von \(p\) bedeutet, so ist für zwei verschiedene derartige Diskriminanten \(D\) und \(\overline D\): \[ \overline \delta \equiv \delta \;(\text{mod.\,} 2), \] \[ \left( \frac {\overline D_0}p \right) = \left(\frac{D_0}p \right). \] Der Beweis wird durch vollständige Bestimmung der Invarianten \(S\) und \(\left( \frac Dp \right)\) erbracht, welche sich außer von \(h\) noch von dem Grade und der Ordnung der in \(p\) aufgehenden Primdivisoren und möglicherweise auch von einigen weiteren bei der Primzahlzerlegung von \(p\) auftretenden charakteristischen Anzahlen abhängig erweisen. In dem Anhange zeigt \textit{Mirimanoff}, daß\ das quadratische Reziprozitätsgesetz eine Konsequenz der obigen Sätze ist, und \textit{Hensel}, daß\ auch der Ergänzungssatz über den quadratischen Charakter der 2 darunter fällt.