Über gewisse Scharen unendlicher Reihen und eine Verallgemeinerung des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz. (Q1501152)

Die Reihen einer Schar sollen gleichmäßig konvergent heißen, wenn es zu jedem positiven \(\varepsilon\) einen Index \(\nu\) gibt derart, daß\ bei allen Reihen der Schar \(| u_{\nu+1}+u_{\nu+2} + \cdots+u_{\nu+p} |< \varepsilon \;(p=1, 2, 3, \dots)\). Ist die reelle Funktion \(f(x)\) in dem endlichen oder unendlichen Intervall \((a,b)\) von beschränkter Variation (d. h. gibt es eine Zahl \(K\) derart, daß\ stets \(|f(a) -f(a_1)| +| f(a_1)-f(a_2)| +\cdots + |f(a_p)-f(b)|<K\) ist, wie und in welcher Anzahl man auch die Werte \(a_1<a_2< \cdots<a_p\) aus \((a, b)\) herausgreifen mag) und ist \(A_0 +A_1+A_2+\cdots\) eine konvergente Reihe reeller Glieder, so erhält man eine Schar gleichmäßig konvergenter Reihen, wenn man jeder monotonen Folge \(x_0 \leqq x_1 \leqq x_2\leqq \dots\) aus \((a, b)\) die Reihe \(A_0 f(x_0) +A_1f(x_1) +A_2f(x_2) +\cdots\) zuordnet. Dieser Satz ist anwendbar auf die Funktion \(f(x)=\left( \frac{\sin x}x \right)^2\), \(f(0)=1\), \(f(\infty)=0\), die Funktion \(\varPhi (h) =A_0 f(0) +A_1 f(h) +A_2 f(2h) +\cdots \;(x_0=0, x_1=h, x_2=2h , \dots, x_n=nh, \dots, h>0)\) ist im Intervall \((0, \infty)\) gleichmäßig konvergent, daher ist \[ \sum_0^\infty A_n =\lim_{h=0} \left\{ A_0 +A_1 \left( \frac{\sin h}h \right) +A_2 \left( \frac{\sin 2h}{2h} \right)^2 +\cdots \right\} \] Untersuchung von \(\varPhi(h)\) für ein gegen Null konvergierendes \(h\), wenn statt der Voraussetzung, daß\ \(A_0+A_1+ A_2 +\cdots\) konvergiert, angenommen wird, daß\ die Summen \(S_n=A_0+A_1+ \cdots +A_n \;(n=0, 1,2, \dots)\) zwischen endlichen Grenzen liegen.