Über die disjunktiven Konvergenz- und Divergenzkriterien zweiter Art für unendliche Reihen mit positiven Gliedern. (Q1501154)

Die positiven Zahlen \(\varphi(0), \varphi(1), \dots, \varphi(n), \dots\) seien so gewählt, daß\ die unendliche Reihe \(\varSigma 1/\varphi(n)\) divergent, \(\varSigma a_n\) sei eine unendliche Reihe positiver Glieder, es sei \(q_n=1:q_n'=a_{n+k+1}: a_{n+k}, \overline {\underline \lim}\, f(n)\) bedeute ``obere und untere Unbestimmtheitsgrenze von \(f(n)\) für \(n=\infty\)'', dann gilt: Kriterium A: Die Reihe \(\varSigma a_n\) konvergiert oder divergiert, je nachdem \(\overline{ \underline \lim} \{ \varphi (n) q_n' -\varphi(n+1) \} >0\) oder \(<0\) ist. Kriterium B: Die Reihe \(\varSigma a_n\) konvergiert oder divergiert, je nachdem \(\overline {\underline \lim} \{ \varphi(n)- q_n \varphi(n+1) \} >0\) oder \(<0\) ist. Die Kriterien A und B sind, wie an Beispielen gezeigt wird, im allgemeinen nicht äquivalent (äquivalent heißen zwei Kriterien, wenn sie, auf irgend eine Reihe angewandt, entweder zugleich wirksam sind oder zugleich versagen), sie sind aber äquivalent, wenn \(\varphi (n)\) noch den Bedingungen \(\lim \varphi(n) =+\infty\) und \(\lim \varphi (n+1)/\varphi(n)=1\) für \(n=\infty\) genügt, z. B. wenn \(\varphi(n)\) eine der Funktionen \(n,n\log n, n \log n \log_2 n, \dots n \log n \log_2 n \dots \log_r n\) ist. -- Die logarithmischen Kriterien von der Form A und B sind einander vollständig äquivalent.