Potenzreihenentwicklung und Methode der kleinsten Quadrate. (Q1501163)

Es sei \(f(x)\) eine durch ihre Eigenschaften bekannte reelle analytische Funktion des reellen Arguments \(x\) in eine Potenzreihe \[ \varSigma A_\lambda (x-a)^\lambda \;(\lambda=0,1,2, \dots, \infty) \] zu entwickeln. Nimmt man die \(A\) als beliebig oder nicht genau bekannt an und bezeichnet \(f(x) -\varSigma A_\lambda (x-a)^\lambda\) für solche Werte der \(A\), die den wahren Werten nahe liegen, für den beliebigen Punkt \(x\) durch \(v(x)\), so muß\ die Quadratsumme aller \(v(x)\), die über sämtliche Punkte zu erstrecken ist, für welche \(f(x)\) bekannt ist, ein Minimum sein; das Gewicht des Beitrages eines einzelnen Punktes sei \(g(x) dx\), dann muß\ (1) \(\int g(x) (v(x))^2 dx =\)Minimum sein in bezug auf die in \(v(x)\) enthaltenen Parameter \(A\). Die Bedingung (1) wird ``Forderung engsten Anschlusses'' genannt. Um die \(A\) zu bestimmen, wird statt \(x\) das komplexe Argument \(z\) eingeführt. Es wird (3) \(f(z) =\sum_{-\infty}^\infty{}_\lambda\, A_\lambda (z-z_1)^\lambda\) gesetzt und gefordert, daß\ \[ (4) \qquad \delta \int_{\mathfrak A} \left[f(z) -\sum_{-\infty}^\infty {}_\lambda A_\lambda (z-z_1)^\lambda \right]^2 dz =0 \] werde. Ist \(k\) ein beliebiger Wert von \(\lambda\), so ergibt sich für \(A_k\) die Normalgleichung \[ 0=2 \int_{\mathfrak A} f(z)(z-z_1)^k dz -2 \cdot 2i\pi A_{-k-1} \;(k=-\infty, \dots, -2, -1, 0, +1, +2, \dots + \infty) \] und hieraus \(A_{-1}= A_{-2}= \dots 0\), \(A_0 =f(z_1)\), \(A_{+1}=f'(z_1):1!,\dots A_{+l} =f^{(l)} (z_1): l!, \dots\), die gesuchte Entwicklung ist also die \textit{Taylor}sche.