The Maclaurin sum-formula. (Q1501166)

Die \textit{Maclaurin}sche Summenformel für einen Parameter kann in größter Allgemeinheit in der Form \[ \sum_{n=0}^{m-1} \varphi(a+m \omega) =Y(a) +\sum_{n=0}^{l+1}\;\frac{S_n' (a)}{n!} \left[\frac {d^n}{dx^n}\;\int^x \varphi(x) dx \right]_{x=m \omega} +J_l \] geschrieben werden, wo \(Y_a\) eine Funktion von \(a\) und der Koeffizienten der Entwicklung von \(\varphi(x)\) bedeutet und \(\varphi(x)\) in die \textit{Laurent}sche Reihe zu entwickeln und die obere Grenze im Integral so zu wählen ist, daß\ das entsprechende Glied an dieser Grenze verschwindet. Wenn \(\varphi(x)\) ein (möglicherweise nicht eindeutige) Funktion ist, die keine Singularitäten außerhalb eines mit endlichem Radius um den Nullpunkt beschriebenen Kreises hat, außerhalb dessen \(a, a+\omega, \dots, a+m \omega\) und \(m \omega\) liegen, so ist \(J_l\) eine Größe, deren Modul für ein großes \(m\) höchstens von der Ordnung 1 : \(m^{l+1}\) ist. Wenn \(\varphi(x)\) eine ganze Funktion ist, deren Ordnung kleiner als 1 ist, so konvergiert \(J_l\) gegen Null, wenn \(l\) für alle (beliebig großen) Werte von \(m\) unendlich groß\ wird, und die \textit{Maclaurin}sche Reihe ist absolut konvergent. Im allgemeinen hat die \textit{Maclaurin}sche Summenformel keinen Sinn, wenn die Ordnung der ganzen Funktion \(\varphi(x)\) größer oder gleich 1 ist, wenn nicht die Theorie der asymptotischen Reihen zur Auswertung der Reihen für \(Y(a)\) und der ihr folgenden Reihe benutzt wird. Die vorstehende Formel wird für mehrere Parameter verallgemeinert.