Recherches sur la convergence des séries de \textit{Fourier}. (Q1501169)

Ist \(f(x)\) eine für \(0 \leqq x < 2\pi\) definierte Funktion, so ist \(f(x)\) durch die Bedingung \(f(x+2\pi)=f(x)\) für jedes Intervall definiert; \(f(x)\) besitze in dem vom Verf. in seiner These (Intégrale, longueur, aire. Annali di Mat. (3) \textit{7}; F. d. M. \textit{33}, 307, 1902, JFM 33.0307.02) definierten Sinne ein Integral im Intervall \((0, 2\pi)\), dann hat \(f(x)\) in jedem endlichen Intervall ein Integral. In der zu \(f(x)\) gehörenden \textit{Fourier}schen Reihe \[ \tfrac 12\, a_0 +\sum_{p=1}^\infty\,(a_p \cos px +b_p \sin px),\quad a_p=\frac 1 \pi \int_a^{a+2\pi} f(x) \cos px dx, \quad b_p= \frac 1 \pi \int_z^{a+2\pi} f(x) \sin px dx \] ist die Summe der \(m+1\) ersten Glieder \[ S_m =\frac 1\pi \int_\beta^{\beta+\pi} \frac {\sin (2m+1)t}{\sin t}\;f(x+2t) dt = \frac 1\pi \int_0^{\frac \pi 2} \frac{\sin (2m+1)t}{\sin t}\;[f(x+2t) - f(x-2t)] dt. \] Die Konvergenz der \textit{Fourier}schen Reihe gegen \(f(x)\) hängt von der Konvergenz des Integrals \(J_m\) gegen 0 ab: \[ J_m=\pi (S_m -f(x)) =\int_0^{\frac \pi 2} \frac{\varphi(t)}{\sin t}\;\sin (2m +1) t dt= \int_0^{\frac \pi 2} \psi (t) \sin(2m+1) t dt, \] wo \(\varphi(t)=\sin t \psi (t) =f(x+2t) +f(x-2t) -2f(x)\) ist. Die für die Konvergenz der \textit{Fourier}schen Reihe gegen \(f(x)\) geltenden Bedingungen in der Form, wie sie von \textit{Dirichlet, Lipschitz, Lipschitz-Dini, Jordan} aufgestellt sind, sind in dem Ergebnis des Verf. enthalten: Die \textit{Fourier}sche Reihe konvergiert im Punkte \(x\) gegen die Funktion, wenn das Integral von \(|\varphi(t) |\) für \(t=0\) die Ableitung 0 hat, und wenn die Größe \(=\int_\delta^\alpha |\psi (t+\delta) -\psi(t) | dt \;(\pi>\alpha > 0, \;\delta > 0)\) mit \(\delta\) gegen Null konvergiert. Durch Anwendung auf einen \textit{Fejér}schen Satz ergibt sich: Die \textit{Fourier}sche Reihe einer Funktion \(f\) ist summierbar nach dem Verfahren des arithmetischen Mittels in Punkte \(x\) und ermöglicht die Berechnung von \(f(x)\), wenn für \(t=0\) die zugehörige Funktion \(|\varphi(t)|\) die Ableitung ihres unbestimmten Integrals ist.