Ein Problem der Interpolationsrechnung. (Q1501177)

Soll die ganze Funktion \(n\)-ten Grades \(g_n(x)\), die an den \(\nu+1\) Stellen \(a_\nu\;(\nu=0,1,2,\dots, n)\) dieselben Werte annimmt, wie eine Funktion \(f(x)\) eine solche Form haben, daß\ eine ganze Funktion \((n+1)\)ten Grades, die außer diesen Bedingungen noch der folgenden \(g_{n+1} (a_{n+1}) =f(a_{n+1})\) genügt, in folgender Form \[ g_{n+1} (x)=g_n(x) +A_{n+1} \prod_{\nu=0}^n (x-a_\nu) \] darstellbar sei, wo \(g_n(x)= A_0+A_1(x-a_0) +A_2(x-a_0)(x-a_1)+ \dots + A_n(x-a_0)(x-a_1) \dots (x-a_{n-1})\) ist, so ist \(A_0=g(a_0)\), \[ A_\nu = \sum_{\mu=0}^\nu\;\frac{g(a_\mu)}{(a_\mu-a_0) \dots / (a_\mu - a_\nu)} \qquad (\nu=1, 2, \dots, n). - \] Soll die Funktion \(g(x, y)\) an den \(\frac 12 (n+1)(n+2)\) Stellen \(a_0 b_0, a_1 b_0, \dots, a_n b_0\); \(a_0 b_1 , \dots , a_{n-1} b_1\); \(\dots, a_0 b_{n-1}, a_1 b_{n-1}\); \(a_0 b_n\) die Werte \(f_0, f_{10}, \dots, f_{n0}\); \(f_{01}, f_{11}, \dots, f_{n-1,1}, \dots,f_{0 n-1}, f_{1 n+1}\); \(f_{0n}\) annehmen, so kann sie in der Form \(A_{00}+ A_{10} (x-a_0) +A_{20} (x-a_0)(x-a_1)+ \cdots + A_{n0}(x-a_0)(x-a_1) \dots (x-a_{n-1}) +[A_{01} +A_{11}(x-a_1) + \cdots +A_{n-11} (x-a_0) \dots (x-a_{n-2})] (y-b_0) +[A_{02} +A_{12}(x-a_0) + \cdots + A_{n-22} (x-a_0) \dots (x-a_{n-3} )] (y-b_0)(y-b_1) + \cdots + [A_{on}] (y-b_0)(y-b_1) \dots (x-b_{n-1})\) dargestellt werden, wo \[ A_{lm} =\sum_{\lambda=0}^l \sum_{p=0}^m\;\frac{f_{\lambda \mu}}{(a_\lambda -a_0) \dots / \dots (a_\lambda -a_2)(b_\mu-b_0) \dots (b_\mu-b_m)} \quad \text{ist.} \]