Notes on some points in the integral calculus. XVII. On the integration of series. (Q1501241)

Vgl. F. d. M. \textit{35}, 313, 1904, JFM 35.0313.02. Man hat den Satz (vgl. \textit{Stolz}, ``Grundzüge der Differential- und Integralrechnung'' \textit{1}, 428): Wenn \(\int_a^A f(x) dx\) absolut konvergent ist und die Funktion \(\varphi(x)\) in eine gleichmäßig konvergente Reihe \(\varSigma \varphi_n (x)\) entwickelt werden kann, so ist \[ \int (f(x) \sum \varphi_n (x)) dx= \sum \int f(x) \varphi_n (x) dx. \] Der Satz versagt, wenn \(\varphi(x)\) an der Grenze unendlich wird; z. B. genügt er nicht zum Beweise, daß\ \[ \int_0^1 \frac{x^m dx}{\sqrt{1-x^2}} =\sum\;\frac{1 \cdot 3 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \dots 2n}\;\int_0^1 x^{2n+m} dx. \] Deshalb beweist \textit{Hardy} das folgende Theorem: Wenn \(f(x)\) stetig im Bereiche \((a, A)\) ist und \(\varphi(x)\) in eine Reihe stetiger Funktionen \[ \varphi_0 (x) +\varphi_1 (x) +\varphi_2(x) +\cdots \] entwickelt werden kann, die im Bereiche \((a, A-\varepsilon)\) gleichmäßig konvergiert, wie klein auch die positive Größe \(\varepsilon\) gewählt wird, wenn endlich das Integral \[ \int_a^A \overline\varphi(x) dx \text{ konvergent ist, wo } \overline \varphi(x) =|\varphi_0 (x)|+| \varphi_1^a (x)| +\cdots, \] dann ist \[ \int_a^A \varphi(x) f(x) dx= \varSigma \int_a^A \varphi_n(x) f(x) dx. \] Hiernach folgt z. B. für \(0<\alpha<1\): \[ \int_0^1 (1-x)^{-\alpha} f(x) dx= \sum\;\frac{\varGamma(\alpha+n)}{\varGamma(\alpha) \varGamma(n+1)} \int_0^1 x^n f(x) dx. \] Zum Schlusse wird das Theorem noch verallgemeinert.