Einiges über den Integrallogarithmus. (Q1501247)

Im ersten Teil dieser Arbeit wird ein direkter und elementarer Beweis der folgenden Formel gegeben: \[ \int_0^\infty e^{-u} \left(x+\tfrac 1x \right) \log x\;\frac{dx}{\sqrt x} =-\sqrt {\tfrac \pi u} e^{2u} \,\text{li} (e^{-4u} ). \] Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Reihe \[ F(x, u) =\sum_0^\infty \;\frac{\varGamma(u)}{\varGamma(u+\nu)}\;x^\nu. \] Das Produkt von \(F(x, u)\) und \(F(-x, v)\) erweist sich gleich \[ (1) \quad (v-1) \sum_0^\infty\;\frac{\varGamma(u) x^n}{(u+v+n-2)\varGamma(u+n)} +(u-1) \sum_0^\infty\;\frac{\varGamma(v)(-x)^n}{(u+v+n-2) \varGamma (v+n)}\,. \] Setzt man hier \(v=1\), so ergibt sich wegen \[ F(-x, 1) =e^{-x} \] die Formel \[ (2) \quad e^{-x} F(x, u) =(u-1) \sum_0^\infty\;\frac{(-x)^n}{n! (u+n-1)}\,, \] die im Grunde genommen mit der \textit{Euler}schen Formel \[ \int_0^\omega e^{-x} x^{\alpha-1} dx= e^{- \omega} \left\{ \frac{\omega^\alpha} a + \frac{\omega^{\alpha+1}}{a(a+1)} +\cdots \right\} \] identisch ist. Im dritten Teil wird statt \(F(x, u)\) \[ f(x, u) =\tfrac 1u\, F(x,u+1) =\sum_0^\infty\;\frac{\varGamma(u) x^\nu}{\varGamma(u+\nu +1)} \] betrachtet. Nach (2) ist dann \[ f(x, u) =e^x \,\sum_0^\infty\;\frac{(-x)^n}{n! (u+n)}\,. \] Für unendlich kleine \(u\) wird folglich \[ e^{-x} f(x, u) = \tfrac 1u +{\mathfrak L} (-x) +(u), \] wobei \((u)\) eine unendlich kleine Größe bedeutet und \[ {\mathfrak L} (z) =\sum_{n=1}^\infty\, \frac{z^n}{n! n} \] ist. Mit Hülfe der Formel (1) ergeben sich weitere Resultate, unter anderem die Relation \[ \{C+{\mathfrak L}(x)\}\{C+{\mathfrak L} (-x)\} =C^2 -2 \sum_s \left\{ \psi (s+1) +\frac 1s \right\} \frac {x^s}{s!s} \] \[ (x=2,4, 6, \dots). \] Dabei ist \(C\) die \textit{Euler}sche Konstante und \(\psi =\frac{\varGamma'}{\varGamma}\). Dem Verfasser scheint die Transzendente \[ C+ {\mathfrak L} (x) \] ``als das einfachste Element der Theorie des Integrallogarithmus zu betrachten zu sein'', mit der sie wegen der bekannten Formel \[ \text{li} (e^x) =\log x +C +{\mathfrak L} (x) \] zusammenhängt.