Beiträge zur Theorie der Systeme linearer homogener Differentialgleichungen. (Q1501273)

Die Untersuchungen zu Theorie der linearen Differentialgleichungen, die Verf. im Anschluß\ an das \textit{Riemann}sche Fragment (Werke 1892, 379-390) seit 1895 verfolgt, haben ihn zu der Einsicht geführt, daß\ die Mehrzahl der in dieser Theorie auftretenden substitutionen- und gruppentheoretischen Fragen in viel eleganterer und tiefergehender Weise behandelt werden kann, wenn man dieselben statt an eine homogene lineare Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung an ein System von \(n\) homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung anknüpft. Es ist jedoch nicht dieser Gesichtspunkt allein, der den Verf. veranlaßt, auf die in den letzten Jahrzehnten so vielfach (von \textit{Sauvage, Koenigsberger, Grünfeld, Horn} u. a.) behandelte Theorie der Systeme linearer Differentialgleichungen zurückzukommen; einen anderen Anlaß\ hierfür bietet die Frage nach der Existenz der Lösungen solcher Systeme. -- Man hat seit dem Erscheinen der klassischen Arbeiten von \textit{Fuchs} die Existenz der Lösungen linearer Differentialgleichungen für den Fall einer komplexen unabhängigen Variable fast ausschließlich dadurch bewiesen, daß\ man in der Umgebung regulärer oder solcher singulären Stellen, wo die Integrale nicht unbestimmt werden, Reihenentwicklungen aufstellte, deren Konvergenz dann mit Hülfe des calcul des limites oder anderer mehr direkter Methoden zu erhärten war. Dieses dem Gedankenkreise der \textit{Cauchy-Weierstraß}schen Funktionentheorie angehörige Verfahren erscheint in der weiteren Entwicklung der Theorie, die ja -- wie schon \textit{Fuchs} in seiner ersten Arbeit betont -- wesentlich im Sinne der von \textit{Riemann} in seiner Dissertation angestellten Prinzipien erfolgt, als fremdartiges Element, und zwar namentlich darum, weil dieses Verfahren nicht die Art und Weise erkennen läßt, wie sich die den linearen Differentialgleichungen genügenden monogenen Integralfunktionen aus ihren reellen und imaginären Teilen zusammensetzen. Verf. entwickeln daher eine Methode für jene Existenzbeweise, die sich auf die Anwendung des \textit{Cauchy-Lipschitz}schen Verfahrens für den Fall einer reellen unabhängigen Veränderlichen stützt, um dann, schrittweise dem von \textit{Riemann} für die Definition des Integrals einer monogenen Funktion einer komplexen Variable angegebenen Wege folgend, zu dem Falle einer komplexen unabhängigen Variable aufzusteigen. Soweit es sich um den Fall reeller Variabeln handelt, deckt sich diese Methode mit derjenigen, die \textit{Volterra} in der ersten seiner beiden Abhandlungen (Mem. d. Soc. Ital. d. Scienze \textit{6}, 1887; \textit{12}, 1899. Vgl. Rom. Acc. L. Rend. (4) \textit{3}, 393, 1887 und Palermo Rend. \textit{2}, 69, 1888) für das von ihm sogenannte ``integrale destro di una sostituzione'' auseinandergesetzt hat. -- Eine besondere Betrachtung erfährt der Fall, wo die Elemente der Integralmatrix in den singulären Punkten nicht unbestimmt werden. Den Schluß\ der Abhandlung bilden einige Bemerkungen formaler Natur über die einem Differentialsysteme assoziierten Systeme.