Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen im Anschlusse an das Riemannsche Problem. III (Q1501274)

Die vorliegende Abhandlung unterscheidet sich von den beiden früher unter demselben Titel veröffentlichten Arbeiten (A.1) [J. Reine Angew. Math. 123, 138--173 (1901; JFM 32.0321.01); (A.2) [ibid. 124, 292--319 (1902; JFM 33.0329.03)] namentlich dadurch, daß die Theorie der Systeme homogener linearer Differentialgleichungen als ein naturgemäßes und wichtiges Hülfsmittel herangezogen wird. Der von \textit{B. Riemann} [Fragment, Werke (1892; JFM 24.0021.04), S. 379 ff)] eingeführte Begriff der Funktionssysteme einer Klasse weist mit Notwendigkeit auf dieses Hülfsmittel hin, und dasselbe bewährt sind, indem es einerseits gelingt, die Invarianten einer solchen Klasse durch die Koeffizienten eines linearen Differentialsystems in sehr einfacher Weise darzustellen, und andrerseits dieser letztere Umstand es ermöglicht, den Existenzbeweis für die durch das Riemannsche Problem (A.1, 160) postulierten Funktionssysteme \textit{ganz allgemein} zu erbringen, also ohne daß\ es nötig wäre, den vorgeschriebenen Fundamentalsubstitutionen die als Konvergenzbedingungen bezeichneten (A.1, 147) Beschränkungen aufzuerlegen. Verf. liefert diesen Existenzbeweis hier zunächst mit Hülfe der méthode de continuité, welche \textit{H. Poincaré} [Acta Math. 4, 201--312 (1884; JFM 16.0252.01), S. 233 ff.)] für die Lösung des Fundamentalproblems der Theorie der Fuchsschen Funktionen ausgebildet hat, bemerkt aber, daß die Prinzipien, die er [J. Reine Angew. Math. 128, 263--297 (1905; JFM 36.0382.01)] (siehe das vorangehende Referat) für die Untersuchung der reellen und imaginären Bestandteile eines Fundamentalsystems von Lösungen eines linearen Differentialsystems entwickelt hat, die Möglichkeit eröffnen, auch \textit{andere Methoden} für den in Rede stehenden Existenzbeweis dienstbar zu machen, wie Verf. in einer vierten Abhandlung für die von Riemann selbst in dem Fragmente aufgestellte allgemeinere Fassung des Problems näher auszuführen gedenkt. Durch die Resultate der vorliegenden Arbeit ist auch die zwischen \textit{T. Brodén} und dem Verf. [J. Reine Angew. Math. 125, 28--33 (1902; JFM 33.0431.01)] erörterte Frage der Verallgemeinerung des Riemannschen Problems als \textit{allgemein} erledigt zu betrachten.