Zur Invariantentheorie der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. (Q1501294)

``Jeder gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung: \[ (1) \qquad y'' =\omega (x, y, y'), \quad y' =\frac{dy}{dx}\,, \quad y'' =\frac{d^2y}{dx^2}\,, \] können wir eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: \[ (2) \qquad b''=\varphi(a, b, b'), \quad b'=\frac{db}{da}\,, \quad b'' =\frac{d^2b}{da^2} \] zuordnen, indem wir in der vollständigen Integralgleichung \[ (3) \qquad y=f(x, a, b) \] der Differentialgleichung (1) \(x, y\) als konstante Größen, dagegen \(a, b\) als Parameter auffassen. Die Gleichung (3) bleibt Integralgleichung von (1), wenn wir die Größen \(a, b\) einer beliebigen Punkttransformation unterwerfen. Infolgedessen müssen wir der Gleichung (1) außer der Gleichung (2) in gleicher Weise jede Differentialgleichung zuordnen, die aus (2) durch Ausführung jeder beliebigen Punkttransformation hervorgeht. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich damit, die Bedingungen zu ermitteln, denen \(\omega(x, y, y')\) genügen muß, damit die der Differentialgleichung (1) entsprechenden Differentialgleichungen (2) einer bestimmten, bei der Gruppe aller Punkttransformationen invarianten Kategorie von Differentialgleichungen angehören. Eine solche Kategorie bilden alle Differentialgleichungen von einer bestimmten Form, in denen \(b''\) in solcher Weise von \(b'\) abhängt, daß\ der Zusammenhang zwischen beiden bei der Gruppe aller Punkttransformationen invariant bleibt. Es ist dabei jedoch keineswegs notwendig, daß\ sich jede einzelne Gleichung der Kategorie durch eine Punkttransformationen in jede andere Gleichung der Kategorie überführen läßt.'' -- Kap. I. Invariante Kategorien von Differentialgleichungen. Kap. II. Der einfachste Fall: \(b''\) ist eine ganze rationale Funktion von \(b'\). Kap. III. Zweiter Spezialfall: \(b''\) ist eine rationale Funktion von \(b'\).