Eine historische Bemerkung zur Funktionentheorie. (Q1501379)

Während \textit{Schröder} 1876 und \textit{Weierstraß} erst 1880 Reihen angaben, die in verschiedenen Gebieten verschiedene Funktionen darstellen, hat, wie in der vorliegenden Bemerkung mitgeteilt wird, \textit{Kronecker} bereits im Winter 1865/66 dem Verf. eine Reihe mitgeteilt, die im Innern des Einheitskreises den Wert 1, im Äußern den Wert \(-1\) als Summe besitzt. Man erhält diese Reihe, wenn man \(-\frac 12 \lg \frac{1+x}{1-x}\) in eine Reihe der Form \(\sum_{\lambda=1}^\infty \frac{c(\lambda)}{x^\lambda - x^{-\lambda}}\) entwickelt und dann nach \(x\) differenziert. Man erhält so die Reihe \(\left( x- \frac 1x \right) \sum_{\lambda=1}^\infty \lambda c (\lambda) \frac{x^\lambda +x^{-\lambda}}{(x^\lambda -x^{-\lambda}) ^2}\), die die angegebene Eigenschaft besitzt und in unendlich vielen Punkten der Kreislinie unendlich wird. Es schließt sich an diese Mitteilung noch eine nähere Bestimmung der Koeffizienten \(c(\lambda)\).