Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: \(f(x+y) =f(x) +f(y)\). (Q1501390)

Gestützt auf den Satz, daß\ das Kontinuum einer wohlgeordneten Menge äquivalent ist, gelingt die Aufstellung einer Basis \(a, b, c, \dots\) aller Zahlen, so daß\ jede Zahl \(x\) eindeutig in der Form \[ x=\alpha a +\beta b +\gamma c +\cdots \] dargestellt werden kann; von den rationalen Zahlen \(\alpha, \beta,\dots\) ist immer nur eine endliche Anzahl von 0 verschieden. Die Definition \[ f(\alpha a +\beta b +\cdots ) =\alpha f(a) +\beta f(b)+\cdots \] führt für jede Wahl von \(f(a), f(b), \cdots\) zu einer unstetigen Lösung der Funktionalgleichung \(f(x+y)=f(x) +f(y)\), wenn nur die Verhältnisse \(f(a):a, f(b):b, \dots\) nicht sämtlich derselben Zahl gleich sind. Man erhält so alle unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung.