Über Funktionalgleichungen, deren Lösungen keiner algebraischen Differentialgleichung genügen können. (Q1501391)

Analytische Funktionen \(\varphi(x)\), die einer Funktionalgleichung \[ \varphi(x+1) =\frac{A(x) \varphi(x) +B(x)}{C(x) \varphi(x) +D(x)} \] mit rationalen \(A, B, C, D\) genügen, sind transzendental-transzendent. Das ist kurz der Inhalt der Arbeit. Von einer Präzisierung der Voraussetzungen darf hier abgesehen werden. Der triviale Fall, daß\ \(\varphi(x)\) rational ist, wird ausgeschlossen. Durch Transformation der Funktion \(\varphi(x)\) gelingt es, die Funktionalgleichung auf die Normalform \(\psi(x+1) =1+r(x)/ \psi(x)\) zu bringen, in der \(r(x)\) eine rationale Funktion mit der Nullstelle \(x=\infty\) bedeutet \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) sind hinsichtlich der Eigenschaft, einer algebraischen Differentialgleichung zu genügen oder nicht, im wesentlichen gleichwertig. Der Beweis stützt sich auf mehrere Hülfssätze, die besagen, daß\ gewisse Ausdrücke für rationale Funktionen zweier Variabeln nicht identisch verschwinden können. Als Folgerung ergibt sich aus ihnen, daß\ die Funktionen \[ \sum_{\nu=0}^\infty\;\frac{a^\nu}{\varGamma(1+\nu) \varGamma(x+\nu)} \quad \text{und} \quad 1+ \frac a{1 \cdot x} +\frac{a^2}{1 \cdot 2 \cdot x(x+1)} + \cdots \] transzendental-transzendent sind, und daß\ die \textit{Bessel}sche Funktion \(J_n(z)\) als Funktion des Index keiner algebraischen Differentialgleichung genügt.