Über isoliertwertige Funktionen. (Q1501399)

Die Arbeit enthält die Erledigung einer Frage, die von \textit{Weierstraß} bei Gelegenheit des Wiederabdrucks seiner Abhandlung vom Jahre 1876 aufgeworfen worden ist. Es wird \(u=f(x)\) eine isoliertwertige Funktion genannt, wenn die Gesamtheit der Werte, die \(f(x)\) für einen nichtsingulären Wert \(x\) annimmt, eine isolierte Menge bildet, so daß\ also eindeutige und endlichvieldeutige Funktionen unter den isoliertwertigen einbegriffen sind. Von diesen isoliertwertigen Funktionen werden folgende drei Sätze bewiesen: I. Eine Funktion \(u=f(x)\), die eindeutigen Gleichungen genügt, ist stets isoliertwertig. II. Jede isoliertwertige Funktion genügt eindeutigen Gleichungen. III. Die inverse Funktion einer isoliertwertigen Funktion ist selbst isoliertwertig. Mit diesen Sätzen ist die von \textit{Weierstraß} aufgeworfene Frage dahin beantwortet: Der von \textit{Weierstraß} für eindeutige oder endlichvieldeutige Funktionen bewiesene Satz gilt für alle Funktionen, die eindeutigen Gleichungen genügen, und nur für solche.