On the function \(P_\varrho(x)\). (Q1501414)

Für die Funktion \(P_\varrho =\prod_1^\infty \left( 1 + \frac x {n^\varrho} \right) \;(\varrho>1)\) haben bereits \textit{Barnes, Lindelöf} und \textit{Wiman} asymptotische Darstellungen gegeben, die aber sämtlich ein Gebiet ausschließen, welches die reelle Achse enthält. Diese Lücke auszufüllen, ist der nächste Zweck der vorliegenden Arbeit. \textit{Hardy} beschränkt deshalb die Variable \(x\) auf ein Gebiet, welches von zwei Radiivectores begrenzt wird, die vom Nullpunkt ausgehen und mit der negativen reellen Achse kleine Winkel bilden, und beweist die Richtigkeit der von ihm schon in einer früheren Arbeit (F. d. M. \textit{35}, 118, 1904, JFM 35.0118.02) für diesen Fall mitgeteilten asymptotischen Darstellung. Weiter untersucht er die Funktion \(P_\varrho(x)\) auch für den Fall, daß\ \(\varrho\) einen komplexen Wert \(\mu +i \nu \) hat \(( \mu >1, \nu>0\) ). Er findet, daß\ sie sich alsdann ähnlich verhält wie für reelle Werte von \(\varrho\); nur nimmt dieselbe Rolle, welche bei reellen \(\varrho\) die negative reelle Achse spielt, bei komplexen \(\varrho \) eine gewisse Spirale \(\left( r= e^{\frac{\mu \vartheta } \nu } \right)\) ein, auf welcher nunmehr die Nullstellen der Funktion liegen. Der nächste Abschnitt ist der approximativen Berechnung der Wurzeln der Gleichung \(P_\varrho (x) =a_n x^n + \cdots +a_0 \) gewidmet, und der letzte beschäftigt sich mit der Aufsuchung einer asymptotischen Darstellung für die Funktion \[ C(x) =\prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \frac x{q^n} \right) \qquad (q>1). \]