Über den Fundamentalsatz in der Theorie der Funktionen \(E_\alpha(x)\). (Q1501430)

Als Fundamentalsatz in der Theorie der \textit{Mittag-Leffler}schen Funktion \(E_\alpha(x)\) (F. d. M. \textit{34}, 435, 1903, JFM 34.0435.01) bezeichnet \textit{Wiman} den Satz, daß\ diese Funktion gegen Null konvergiert, wenn \(x= r e^{i \varphi}\) bei konstantem \(\varphi\) und positivem, wachsendem \(r\) auf einem Vektor läuft, der die Bedingung: \[ \alpha\, \tfrac \pi 2 < \varphi < 2 \pi - \alpha\, \tfrac \pi 2 \] erfüllt, für die anderen Vektoren aber über alle Grenzen wächst. Bei seinem Beweise betrachtet \textit{Wiman} zuerst den Fall, daß\ \(\alpha=1/k\) ist, wo \(k\) eine positive ganze Zahl bedeutet. Alsdann genügt nämlich, wie bereits \textit{Mittag-Leffler} angegeben hatte (fünfte Note, Formel 82), die Funktion \(E_\alpha (x)\) der linearen Differentialgleichung erster Ordnung: \[ \frac{dy}{dx} =k x^{k-1} y+k \sum_{n=1}^{k-1} \frac{x^{n-1}}{\varGamma \left( \frac nk \right) }\,. \] Hieraus findet man durch Integration mit der Anfangsbedeingung \(x=0\), \(y=1\) die Darstellung: \[ E_{1/k} (x)= e^{x^k} + e^{x^k} \cdot \int_0^x k e^{-z^k} \cdot \sum_{n=1}^{k-1} \,\frac{z^{n-1}}{\varGamma \left( \frac nk \right) } \cdot dz, \] und es lassen sich für die \(k\) Summanden auf der rechten Seite leicht asymptotische Ausdrücke aufstelle, aus denen das gewünschte Resultat erschlossen wird. Nun gilt aber für alle positiven ganzen Zahlen \(h\) die Identität: \[ E_{h/k} (x) = \frac 1h \left\{ E_{1/k} ( x^{\frac 1h} ) + E_{1/k} ( \omega x^{\frac 1h} ) + \cdots + E_{1/k} ( \omega^{h-1} x^{\frac 1h} ) \right\}, \] wo \(\omega \) eine primitive \(h\)-te Wurzel der Einheit bezeichnet, und hieraus folgt die Richtigkeit des Fundamentalsatzes für rationales \(\alpha\). Durch eine Grenzbetrachtung läßt sich endlich die Gültigkeit auf beliebiges \(\alpha\) erweitern.