Über die Nullstellen der Funktionen \(E_\alpha (x)\). (Q1501431)

Zu den merkwürdigen Eigenschaften der \textit{Mittag-Leffler}schen Transzendenten \(E_\alpha (x)\) (F. d. M. \textit{34}, 435, 1903, JFM 34.0435.01) gehört auch, daß\ sich die Frage nach der Lage und nach der Dichtigkeit der Nullstellen in sehr einfacher Weise beantworten läßt, und zwar beruht dieser von \textit{Wiman} bemerkte Umstand auf der von \textit{Mittag-Leffler} in seiner fünften Note gegebenen Darstellung: \[ E_\alpha(x)= \tfrac 1 \alpha \sum_k e^{r^{ \frac 1 \alpha} e^{i \frac{ \varphi+2 k \pi}\alpha }} + \frac 1{ 2 \pi i \alpha} \int \frac{ e^{\omega^{\frac 1 \alpha}} d \omega}{\omega -x} \qquad (x= r e^{i \varphi}); \] die Summation bezieht sich auf alle positiven und negativen Zahlen mit Einschluß\ der Null, für die die Ungleichheit besteht: \[ - \alpha \pi < \varphi+ 2k \pi < + \alpha \pi, \] und die Integration wird über die beiden Halbstrahlen \(\varphi \mp \alpha \pi\) in ihrer ganzen Länge ausgeführt. Indem \textit{Wiman} \(1/ (\omega -x)\) nach fallenden Potenzen von \(x\) bis zur Potenz \(x^{-n}\) entwickelt, erhält er die halbkonvergente Darstellung: \[ E_\alpha (x) =\tfrac 1 \alpha \,\sum_k e^{ r^{\frac 1 \alpha} e ^{\frac{\varphi+2k \pi} \alpha}} - \sum_{\nu=1}^n\;\frac{x^{-\nu}}{\varGamma(- \alpha \nu +1)} +\frac 1 { 2 \pi i \alpha x^n} \int \frac{\omega^n e^{\omega^{\frac 1 \alpha}} d \omega}{\omega-x}\,, \] bei der, wenn \(n\) hinreichend groß\ ist, das Restglied höchstens von der Größenordnung \[ e^{-r^{\frac 1 \alpha}} \] wird. Hierbei wird angenommen, daß\ \(\alpha\) eine positive reelle Zahl sei. Wenn aber, wie das \textit{Mittag-Leffler} neuerdings getan hat (F. d. M. \textit{35}, 448, 1904, JFM 35.0448.02), \(\alpha=\beta +i \gamma\) mit positivem \(\beta\) gesetzt wird, so treten an die Stelle der Halbstrahlen logarithmische Spiralen; im übrigen gilt aber für \(E_\alpha (x)\) eine ganz ähnliche Darstellung. Für die Angaben über die Nullstellen selbst muß\ auf die Abhandlung verwiesen werden.