On a class of analytic functions. (Q1501436)

Den Untersuchungen \textit{Borels} über reguläres und irreguläres Wachstum ganzer transzendenter Funktionen folgend, betrachtet \textit{Hardy} die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty\;\frac{x^n}{n! \sin \pi n \lambda}\,, \] bei der \(\lambda\), damit die Reihe einen Sinn hat, nicht gleichzeitig reell und rational sein darf; diese Reihe ergibt sich übrigens, wenn man das Verhalten der Funktion von \(x\) untersucht, die durch das Integral \[ \int \frac{e^{- u^\lambda} du}{u+x} \] dargestellt wird. Je nach der Wahl der Konstante \(\lambda\) ist die Reihe entweder beständig konvergent und stellt eine ganze transzendente Funktion regulären oder irregulären Wachstums dar, oder beschränkt konvergent, und zwar so, daß\ die Grenze des Konvergenzkreises zugleich Grenze des Existenzbereiches der Funktion ist, oder endlich divergent für alle Werte von \(x\) außer \(x=0\).