Sulle funzioni integrali. (Q1501450)

Die in dem Bereich \(a \leqq x \leqq b\) definierte Funktion \(F(x)\) heißt eine Integralfunktion, wenn eine in demselben Bereich definierte endliche Funktion \(f(x)\) existiert von der Art, daß\ in der \textit{Lebesgue}schen (über die gewöhnliche Bedeutung hinaus erweiterten) Bezeichnungsweise \[ \int_a^b f(x) dx =F(b) -F(a) \] ist. Der Inhalt der Arbeit besteht im Nachweis des Satzes: Immer dann und nur dann ist \(F(x)\) eine Integralfunktion, wenn \(F(x)\) ``absolut stetig'' ist. Eine Funktion wird aber als absolut stetig bezeichnet, wenn die Summe der Inkremente der Funktion für eine Gruppe von Intervallen von genügend kleiner Ausdehnung beliebig klein ist. Der Beweis wird vereinfacht durch den Satz, daß\ eine absolut stetige Funktion die Differenz zweier nicht abnehmenden, absolut stetigen Funktionen ist, und dann wesentlich mit \textit{Lebesgue}schen Methoden durchgeführt.