Über Funktionen zweier complexer Veränderlicher. (Q1501454)

Der Verf. beweist in erster Reihe einen Satz, den \textit{Poincaaré} (Acta Math. \textit{2}, 113) ausgesprochen hat, und den er mit einer als notwendig erkannten Modifikation folgendermaßen präzisiert: ``Damit es eine ganze Funktion \(G(x, y)\) von \(x\) und \(y\) gebe, deren Nullstellen zusammenfallen mit den durch die Gleichung \(y=f(x)\) gelieferten Wertepaaren, ist notwendig und hinreichend, daß\ die Funktion \(f(x)\) der Bedingung genüge: Zu jeder beliebigen positiven Zahl \(A\) sowie zu jedem Punkte \(x_0\) läßt sich eine Konstante \(\varrho\) so definieren, daß\ alle der Gleichung \(y=f(x)\) genügenden Wertepaare \((x, y)\), deren \(x\)-Koordinate der Ungleichung \(|x-x_0|< \varrho\) genügt, und deren \(y\)-Koordinate dem absoluten Betrage nach unter \(A\) liegt, durch eine endliche Anzahl von Entwicklungen der Form \[ y=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu (x-x_0)^{\frac \nu r} \] geliefert werden.'' Dieses \textit{Poincaré}sche Theorem erscheint als Korollar eines allgemeineren Satzes, der mit Hülfe eines Lemmas von \textit{Cousin} (Acta Math. \textit{19}, 25, 1895) durch ein dachziegelartiges Verfahren abgeleitet wird, und der noch mannigfache andere Anwendungen gestattet. Verf. führt davon noch eine aus, indem er ein Analogon zur \textit{Weierstraß}schen Produktzerlegung der ganzen Funktionen einer Veränderlichen für ganze Transzendenten zweier Variablen aufstellt; dabei treten als Primfunktionen solche auf, die nur längs einer einzigen analytischen Kurve, und zwar (in einem näher präzisierten Sinne) von der ersten Ordnung verschwinden. Ein von \textit{Biermann} (Wiener Ber. \textit{89}) im Anschluß\ an \textit{Appel} (Acta Math. \textit{2}) bewiesener Satz ist darin als spezieller Fall enthalten.