Sur la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique et sur les intégrales de \textit{Picard} attachées à la surface. (Q1501460)

Wenn zwei auf einer algebraischen Fläche \(F\) befindliche algebraische Kurven \(A, B\) ganz in einem und demselben irreduziblen algebraischen System enthalten sind, nennt sie der Verf. \textit{algebraisch äquivalent} und schreibt \[ A \equiv B. \] Sind \(C_1, C_2, \dots, C_h\) algebraische Kurven auf \(F\), und lassen sich \(h\) positive ganze Zahlen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_t, \mu_{t+1}, \dots, \mu_h\) (nicht durchweg gleich 0) so bestimmen, daß \[ \lambda_1 C_1 + \cdots + \lambda_t C_t \equiv \mu_{t+1} C_{t+1} +\cdots + \mu_h C_h \] ist, so heißen \(C_1, \dots, C_h\) \textit{algebraisch abhängig}, andernfalls \textit{algebraisch unabhängig}. Verf. gibt ein Kriterium für die algebraische Abhängigkeit an. Mit Hülfe der \textit{Picard}schen Integrale läßt sich die Bedingung für die algebraische Abhängigkeit noch in einer anderen (transzendenten) Form ausdrücken; sie kommt nämlich darauf hinaus, daß\ auf \(F\) ein \textit{Picard}sches Integral dritter Gattung existieren muß, welches nur \(C_1, C_2, \dots, C_h\) als logarithmische Kurven hat. Die \textit{Picard}sche Theorie ermöglicht es, folgendes Theorem aufzustellen: Auf einer algebraischen Fläche \(F\) lassen sich \(\varrho\) irreduzible Kurven \(C_1, C_2, \dots, C_\varrho\) ziehen, die algebraisch unabhängig und zugleich so beschaffen sind, daß\ sich \(C_1, C_2, \dots, C_\varrho, C\) stets als algebraisch abhängig erweisen, wie man auch die \((\varrho+1)\)-te algebraische Kurve \(C\) auf \(F\) wählen mag. \(C_1, C_2, \dots, C_\varrho\) bilden also, wie man sagt, eine \textit{Basis} des Inbegriffs aller auf \(F\) gezogenen algebraischen Kurven. Auf Grund seiner Resultate kann Verf. eine von \textit{Picard} gestellte Frage erledigen, indem er nachstehenden Satz beweist: Damit sich die \textit{Picard}schen Integrale, die zu einer algebraischen Fläche gehören, sämtlich auf algebraisch-logarithmische Kombinationen reduzieren, ist es notwendig und hinreichend, daß\ die Ordnung des linearen Zusammenhangs für die Fläche gleich 1 ist.