On the series for the sine and cosine. (Q1501486)

``Die Reihen für \(\sin x\) und \(\cos x\) nach Potenzen von \(x\) sind so fundamental, daß\ jede Vereinfachung in ihrer Herleitung nicht ohne Bedeutung ist. Eine Vergleichung der in den Leitfäden der Trigonometrie gegebenen Beweise, die jetzt als schlüssig angenommen werden, mit denen früheren Datums, welche ehedem für hinreichend erachtet wurden, dürfte die verwickelten Gedankenverbindungen dartun, auf denen die modernen Beweisführungen beruhen, obgleich diese Gedanken jetzt als elementar gelten. Der Zweck dieses Aufsatzes ist die Vorführung einer induktiven Herleitung der Reihen, d. h. eines Verfahrens, vermöge dessen jedes Glied aus der Kenntnis der voraufgehenden Glieder erhalten wird. Es beruht auf einer von \textit{Le Cointe} in seiner Théorie des fonctions circulaires gegebenen Gleichung, die in \textit{Todhunters} Trigonometrie angeführt ist: \[ 3 \sin ^n \tfrac x{3^n} - x = 4 \left\{ \sin^3 \tfrac x3 + 3 \sin^3 \tfrac x{3^2} + \cdots + 3^{n-1} \sin^3 \tfrac x{3^n} \right\}. '' \] Der Beweis für die Sinusreihe umfaßt 10 Druckseiten; das ist etwas viel für ein elementares Lehrbuch!