Sur les séries de fonctions de \textit{Stirling}. (Q1501499)

Als \textit{Stirling}sche Polynome definiert der Verf. (auch schon in früheren Arbeiten) diejenigen ganzen rationalen Funktionen \[ \psi_0(x), \psi_1(x), \psi_2 (x), \dots, \] welche den Gleichungen \[ (x+2) \psi_n (x+1) = (x-n) \psi_n (x) +(x+1) \psi_{n-1} (x) \] genügen, wobei noch \(\psi_0(x)= \frac 12\) gefordert wird. Man kommt auf diese Funktionen, wenn man \[ \left( \frac{1- e^{-\alpha}} \alpha \right)^{-x -1} \] nach Potenzen von \(\alpha\) entwickelt. Es ist nämlich \[ \left( \frac{1- e^{-\alpha}}\alpha \right)^{-x-1} =1+(x+1) \sum_0^\infty \psi_n(x) \alpha^{n+1} \quad (|\alpha| < 2 \pi ). \] In der ersten Arbeit (JFM 36.0500.01) wendet der Verf. seine Polynome auf die Theorie der Gammafunktion an, und es gelingt ihm, durch dieselben in einfachster Weise die Koeffizienten der bekannten \textit{Binet}schen Fakultätenreihen auszudrücken. In der zweiten Arbeit werden die Beziehungen untersucht, die zwischen \(\psi_n (x)\) und den \textit{Bernoulli}schen Polynomen bestehen. Sodann beschäftigt sich der Verf. mit dem Wert von \(\psi_n(x)\) für sehr großes \(n\) und wendet die erhaltenen Resultate auf die Frage nach der Konvergenz einer Reihe von der Form \[ \sum_0^\infty a_n \psi_n (x) \] an. Bemerkenswert ist, daß\ es hier eine Entwicklung der Null gibt. Es gilt nämlich die Formel \[ 0= \sum_0^\infty (-1)^n (2 \pi)^{2n} \psi_{2n} (x) \quad (\Re (x) < -1). \] Neben den \textit{Stirling}schen Polynomen betrachtet der Verf. noch andere \(\chi_0(x), \chi_1(x), \chi_2(x), \dots\), die in der Reihenentwicklung \[ \left( \frac{\sin \alpha} \alpha \right)^{-x-1} =1+(x+1) \sum_0^\infty \chi_n (x) \alpha^{2n+2} \quad (|\alpha| < \pi) \] auftreten. Auch Reihen von der Form \[ \sum_0^\infty b_n \chi_n (x) \] werden behandelt.