\textit{Riemann}s Vorlesungen über die hypergeometrische Reihe und ihre Bedeutung. (Q1501502)

\textit{Riemann} hat zweimal über die hypergeometrische Reihe Vorlesungen gehalten, im W. S. 1856/57 und im W. S. 1858/59. Während aus der ersten die berühmte Abhandlung über die \textit{Gauß}sche Reihe hervorging, ist die zweite erst in neuerer Zeit durch ein von \textit{W. von Bezold} geführtes Kollegheft bekannt geworden. Sie ist von großer Wichtigkeit; denn sie enthält eine Reihe von Gesichtspunkten, die erst viel später durch neuere Untersuchungen wieder aufgefunden sind. Die hypergeometrischen Integrale werden als Funktionen der singulären Stellen des Integranden aufgefaßt, es wird die durch den Integralquotienten vermittelte Abbildung untersucht und die Variable als Funktion davon betrachtet. Wie später \textit{Jordan, Pochhammer} und \textit{Nekrassoff}, so hat \textit{Riemann} den Doppelumlauf auf die Integrale angewandt, was aus einem Blatt seines Nachlasses hervorgeht. Er hat die \textit{Schwarz}sche Differentialinvariante benutzt; ferner ist die Frage nach den algebraisch integrierbaren Fällen der hypergeometrischen Differentialgleichung im Keime aufgeworfen, und auch die Mittel zu ihrer Lösung sind gegeben. Zum Schluß\ geht der Verf. auf die Frage ein, in welcher Weise ein weiterer Ausbau der \textit{Riemann}schen Ideen nach anderer Richtung, als bisher geschehen ist, erfolgen könne, wenn man Integrale von Funktionen auf einem elliptischen und noch allgemeiner auf einem algebraischen Gebilde betrachtet, die beim Umlauf um singuläre Punkte des Integranden und längs der Querschnitte mit konstanten Faktoren multipliziert werden.