On the elliptic and zeta-functions of \(\frac 23 K\). (Q1501512)

In dem vorstehend angezeigten Artikel gibt \textit{Glaisher} die nach Potenzen von \(q\) fortschreitenden Entwicklungen für die 16 elliptischen und die vier Zetafunktionen in einer Form, bei der die Koeffizienten bloß\ mittels zweier arithmetischen Funktionen \(E(n)\) und \(H(n)\) ausgedrückt sind. Diese Formeln liefern Aufdrücke für ns\,\(\frac 23 K\), ds\,\(\frac 23K\), cs\,\(\frac 23 K\) als lineare Funktionen von \[ U^{\frac 12} = \frac{ k \text{\,sn\,} \frac 23 K \text{\,cn\,} \frac 23 K}{ \text{\,dn\,} \frac 23 K}, \quad V^{\frac 12} = \frac{ \text{\,sn\,} \frac 23K \text{\,dn\,} \frac 23 K}{ \text{\,cn\,} \frac 23 K}, \quad W^{\frac 12}=\frac{k' \text{\,sn\,} \frac 23 K}{\text{\,cn\,} \frac 23K \text{\,dn\,} \frac 23 K} \] und eine andere Wurzelgröße gleicher Art. Die \(q\)-Reihen, welche in den Entwicklungen auftreten, können in derselben Weise ausgedrückt werden. Diese Formeln werden in der gegenwärtigen Abhandlung untersucht. \S\S\ 1-6. Einleitung. -- \S\S\ 7-20. Werte der elliptischen und Zetafunktionen von \(\frac 23K\) und von gewissen \(q\)-Reihen. -- \S\ 21--22. Werte von \(q\)-Reihen und Umänderung von \(q\) in \(q^2\). -- \S\S\ 23-27. Beziehungen zwischen \(U, V, W, L, M, N\). -- \S\S\ 28-38. Werte von \(k \varrho^2 \text{\,cn\,} \frac 23 K, \text{\,dn\,} \frac 23K\), etc., und von \(k^3 \varrho^2 \text{\,sn}^4 \frac 23K\), etc., als \(q\)-Reihen und in Gliedern mit \(k\).