On certain conditionally convergent multiple series connected with the elliptic functions. (Q1501513)

Die fragliche Reihe ist: \[ \varSigma \frac{e^{(2m \theta +2n \varphi) \pi i}}{a +m \omega_2 +n \omega_1} \quad \begin{pmatrix} m=-\infty, \dots, +\infty \\ n=-\infty, \dots, +\infty \end{pmatrix}, \] wo \(\theta\) und \(\varphi\) reell, positiv und kleiner als 1 sind, \(\omega_1\) und \(\omega_2\) zwei komplexe Zahlen, für welche der imaginäre Teil von \(\omega_2/\omega_1=\tau\) positiv ist, \(a\) eine solche Größe, daß\ \(a+m \omega_2 +n \omega_1\) für keine Werte von \(m\) und \(n\) verschwindet. Diese Reihe ist von \textit{Kronecker} öfters untersucht worden, nach ihm von \textit{Lerch}. ``Sowohl \textit{Kronecker}, als auch \textit{Lerch} schrieben über sie vor der Veröffentlichung der \textit{Pringsheim}schen Abhandlungen über die allgemeine Theorie der bedingt konvergenten Reihen; ihre Erörterungen der Konvergenz sind daher viel weniger einfach als bei einer Beweisführung mit Hülfe der \textit{Pringsheim}schen Theorie und einer Verallgemeinerung des \textit{Abel}schen Hülfssatzes in London M. S. Proc. (2) \textit{2} (''F. d. M. \textit{35}, 254, 1904, siehe JFM 35.0254.04 u. JFM 35.0254.05''). Meine Absicht in dem vorliegenden Artikel ist, die Konvergenz der Reihe unter dem letzteren Gesichtspunkte zu betrachten. Ich habe auch die Reihe nach einer Methode summiert, welche praktisch mit der \textit{Kronecker}schen identisch, aber so eingerichtet ist, daß\ die Summe direkt in den Formeln der gewöhnlichen \textit{Weierstraß}schen Funktionen erhalten wird,'' nämlich \[ \sum \,\frac{e^{(2m \theta +2n \varphi) \pi i}}{a +m \omega_2 +n \omega_1} = e^{a (\eta_2 \varphi -\eta_1 \theta)} \;\frac{\sigma(a +\omega_1 \theta -\omega_2 \varphi)}{\sigma(a) \sigma(\omega_1 \theta - \omega_2 \varphi)}\,. \]