Sur le développement, à l'aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles \(\sum f(pm^2 +2qmn +rn^2)\), où \(pm^2+2q mn +rn^2\) est une forme positive à coefficients entiers. (Q1501536)

Die über alle ganzzahligen Lösungen der Ungleichung \(a< pm^2+2 qmn +rn^2 \le b\) erstreckte Summe \(S = \sum f(pm^2 +2q mn + rn^2)\) wird, wenn man mit \(\tau (\kappa ) \) die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(pm^2 +2qmn +rn^2= \kappa\) bezeichnet und \[ \varphi(x) =\sum_{\kappa=0}^{\kappa \le x} \tau (\kappa) \] setzt: \[ S= \int_a f(x) \,d \varphi(x). \] Setzt man nun weiter \[ \varphi(x) =\frac{\pi x}{\sqrt {pr-q^2} } + r(x), \] so kann \(r(x)\) mittels einer Formel, welche bei der Transformation der Thetafunktionen Verwendung findet (vgl. mein Lehrb. S. 96), durch Zylinderfunktionen ausgedrückt werden. Benutzt man dann deren Entwicklungen in semikonvergente Reihen, so erhält man Näherungswerte für die Summe \(S\). Daß\ bei der Herleitung des ebengenannten Ausdruckes von \(r(x)\) durch Zylinderfunktionen die vorgenommene Umstellung der Summationen erlaubt ist, muß, wie auch der Verf. bemerkt, noch besonders bewiesen werden.