Dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. (Q1501655)

Es wird folgendes Problem behandelt: ``Gegeben ist ein beliebiger konvexer Körper \(K\). Lauter mit \(K\) kongruente und parallel orientierte Körper in unendlicher Anzahl sollen im Raume in gitterförmiger Anordnung [d. i: entsprechende Punkte bilden ein parallelepipedisches Gitter] derart gelagert werden, daß keine zwei der Körper ineinander eindringen, und daß dabei der von den Körpern erfüllte Teil des Raumes gegenüber dem von ihm freigelassenen möglichst groß ist.'' Die Lösung dieses Problems ist für die Zahlentheorie und die Physik von Bedeutung. Das Problem wird zurückgeführt auf den Fall von Körpern mit Mittelpunkt im Nullpunkt \(O\) durch Einführung des Körpers \(\mathfrak K = K + K'\), der aus der Gesamtheit der Mittelpunkte von Verbindungsstrecken von Punkten von \(K\) einerseits und von Punkten des aus \(K\) durch Spiegelung an \(O\) entstehenden Körpers \(K'\) andererseits besteht. Speziell wird betrachtet die dichteste Lagerung von Kugeln, sowie von Tetraedern und Oktaedern. Die Resultate im ersteren Falle werden angewandt, um die Sätze über die Reduktion von positiven ternären quadratischen Formen abzuleiten. Die dichteste Lagerung von Oktaedern liefert folgendes Resultat für die simultane Approximation zweier reellen Größen durch rationale Zahlen mit gleichem Nenner: Sind \(a\) und \(b\) zwei reelle Größen, so kann man stets solche ganzen Zahlen \(x\), \(y\), \(z\) finden, daß \(z > 0\), \(|x - az|\) und \(|y - bz|\) beliebig klein und gleichzeitig \[ \big|\frac xz - a\big|\text{ und }\big|\frac yz - b\big| < \sqrt{\frac8{19}}\cdot \frac1{z^\frac32} \] sind. Zum Schlusse wird gezeigt, daß die Annahme von Lord Kelvin, daß bei einer dichtesten Lagerung stets vier sich gegenseitig berührende Körper auftreten müssen, nicht immer richtig ist.