Über konvexe Polygone. (Q1501658)

Bezeichnet \(x_k\) die Anzahl der \(k\)-Ecke eines allgemeinen konvexen Polyeders oder auch einer durch eine Anzahl gerader Linien von allgemeiner Lage in einer Ebene bewirkten Gebietseinteilung, so besteht bekanntlich zwischen den Zahlen \(x_k\) eine lineare Relation. Verf. weist eine ähnliche Relation nach für die Einteilung der Fläche eines konvexen ebenen \(n\)-Ecks durch seine sämtlichen Diagonalen, vorausgesetzt, daß keine drei derselben durch einen Punkt gehen. Die Relation, welche übrigens im Gegensatz zu den oben erwähnten auch die Zahl \(n\) enthält, lautet: \[ x_3 - x_5 - 2x_6 - 3x_7 - 4x_8 -\cdots= (n-2)^2. \] Von den Einteilungspolygonen liegen \(n(n-3)\) (mit einer Ecke oder Kante) am Rande, es sind dies ohne Ausnahme Dreiecke. Ersetzt man die Zahl \(x_3\) durch die Anzahl \(x_3' = x_3 - n(n-3)\) der im Innern liegenden Dreiecke, so kann man der Relation die Form \[ x_3' - x_5 - 2x_6 - 3x_7 -\cdots- (n-5)x_{n-1} - (n-4)(x_n-1) = 0 \] geben. --- Durch eine arithmetische Untersuchung wird nachgewiesen, daß beim regulären \(n\)-Eck im Falle eines ungeraden \(n\) keine drei Diagonalen durch einen Punkt (sei es innerhalb oder außerhalb des \(n\)-Ecks) gehen können. Die Formel ist also anwendbar und nimmt, weil offenbar \(x_n = 1\) wird, die einfachere Form an: \[ x_3' = x_5 + 2x_6 + 3x_7 +\cdots+ (n-5)x_{n-1}. \]