Ein Beitrag zur Theorie der Evoluten. (Q1501870)

Die logarithmische Spirale \(r = ae^{k\vartheta}\) hat für jeden Wert von \(k\), der der Gleichung \(e^{k\lambda\pi} - k = 0\) \((\lambda = -\frac12(2n+1),\, n=1,3,5,\dots)\) genügt, bekanntlich die Eigenschaft, ihre eigene Evolute zu sein. Verf. hat sich die Frage vorgelegt, ob diese Eigenschaft noch anderen Kurven zukommt. Für eine solche Kurve wäre notwendige Bedingung, daß sie sich in der Form \[ x = \int\frac{\Phi(p)dp}{(1+p^2)^\frac32} \quad y = \int\frac{\Phi(p)pdp}{(1+p^2)^\frac32} \] darstellen läßt, wo \(p = dy/dx\) ist und \(\Phi\) der Gleichung \[ \Phi\left(-\frac1p\right) = (1 + p^2)\Phi'(p) \] zu genügen hätte. Nur die Lösung \(\Phi(p) = e^{k\cdot\arctan p}\), wo \(e^{k\lambda\pi}-k = 0\) und \(\lambda = \pm\frac12(2n + 1)\), \(n = 0,1,2,\dots\), könnte Kurven von der verlangten Eigenschaft liefern. Mit Hülfe der komplexen Lösungen von \(k\) für die letzte Gleichung kann man zwar auch zu reellen Kurven kommen; diese sind aber nicht ihre eigenen Evoluten, und von den reellen Werten von \(k\) liefern auch nur die anfangs genannten solche Kurven. Daraus folgt aber, daß die logarithmische Spirale allein die bezeichnete Eigenschaft besitzt.