Über die geodätische Abbildung zweier Flächen aufeinander. (Q1501991)

Nach dem Dinischen Satz lassen sich allein die Liouvilleschen Flächen, d. h. die vom Linienelement \[ ds = \sqrt{U(u)-V(v)}\cdot \sqrt{du^2+dv^2} \] auf einander geodätisch abbilden. In der vorliegenden Arbeit wird zunächst folgende Erweiterung gegeben: Die geodätische Abbildung zweier Flächen ist die einzige, bei welcher einer zweifach unendlichen Schar von Kurven gleicher geodätischer Krümmung \(g\) (\((g)\)-Kurven nach Darboux) der einen Fläche eine zweifach unendliche Schar von Kurven derselben Art auf der anderen Fläche entspricht, und die geodätischen Linien sind die einzigen Kurven dieser Art. Bei jeder geodätischen Abbildung existiert eine einfach unendliche Schar von Kurven der geodätischen Krümmung \(g\), die einer Schar von \((g_1)\)-Kurven entspricht; ist \(\omega\) der Winkel mit der \(v\)-Linie, \(\alpha(u,v) = UV(g:g_1)^\frac23\), so gilt die Verallgemeinerung des Clairautschen Satzes (\(\alpha=\) const): \[ U\sin^2\omega + V\cos^2\omega = \alpha(u,v). \] Wenn endlich, die entsprechenden Kurven geodätische Kreise sind, ergeben sich die Flächen konstanten Krümmungsmaßes.