Beiträge zur Theorie der unendlich kleinen Deformationen einer Fläche. (Q1501999)

Ist \((x, y, z)\) ein Punkt einer Fläche \((\mathfrak F)\) vom Linienelement \[ ds = \sqrt{Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2}, \] und ist \((x+\varepsilon\xi, y+\varepsilon\eta, z+\varepsilon\zeta)\) eine infinitesimale Deformation von \((\mathfrak F)\), wobei \(\varepsilon\) eine unendlich kleine Konstante bedeutet, so hat die Deformation einen vorgeschriebenen ``Charakter'', wenn die Änderung von \(ds^2\) vorgeschrieben ist, d. h. wenn in \[ \delta(ds^2) = 3\varepsilon\sqrt{EG - F^2}(Pdu^2 + 2Qdudv + Rdv^2) \] \(P\), \(Q\), \(R\) gegebene Funktionen des Orts auf der Fläche sind; \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) definieren einen Verschiebungsvektor, und es bestehen die Relationen \[ \begin{aligned} \sum\frac{\partial\xi}{\partial u}{\partial x}{\partial u} &= P\sqrt{EG - F^2},\\ \sum\frac{\partial\xi}{\partial u}{\partial x}{\partial v} &= (Q-\varphi)\sqrt{EG - F^2},\\ \sum\frac{\partial\xi}{\partial v}{\partial x}{\partial u} &= (Q+\varphi)\sqrt{EG - F^2},\\ \sum\frac{\partial\xi}{\partial v}{\partial x}{\partial v} &= R\sqrt{EG - F^2},\end{aligned} \] in denen \(\varphi\) die ``charakteristische'' Funktion bedeutet. Wenn \[ P=0,\quad Q=0,\quad R=0, \] so liegt die infinitesimale Biegung vor; wenn \(P:Q:R = E:F:G\), die infinitesimale konforme Deformation; wenn \(P\), \(Q\), \(R\) den Fundamentalgrößen zweiter Ordnung proportional sind, so erhält man, wie der Verf. beweist, eine infinitesimale Verschiebung in Richtung der Normale. Die charakteristische Funktion \(\varphi\) genügt einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche für den Fall der infinitesimalen Biegung in die von Weingarten für die ``Verschiebungsfunktion'' aufgestellte übergeht. Nach Lösung dieser Gleichung sind die Verschiebungskomponenten durch Quadraturen bestimmbar. In einem zweiten Abschnitt der Arbeit werden die infinitesimalen Deformationen der Developpablen untersucht. Es wird gezeigt, daß sich alle infinitesimalen Deformationen vorgeschriebenen Charakters durch Quadraturen finden lassen, und daß die infinitesimal deformierte Fläche im allgemeinen eine Regelfläche ist. Der dritte Abschnitt handelt von dem speziellen Fall der infinitesimalen Biegung und liefert außer den bekannten allgemeinen Sätzen noch eine Reihe spezieller Folgerungen. Die Untersuchung der konformen infinitesimalen Deformation zeigt unter anderem, daß sie sich für die Minimalflächen und für die Dupinschen Zykliden durch Quadraturen ausführen läßt. Die Aufgabe, alle konformen infinitesimalen Deformationen einer Fläche in sich zu bestimmen, ist mit der konformen Abbildung auf eine Ebene identisch. Im fünften Abschnitt wird eine andere Behandlung des Problems der infinitesimalen Deformation angegeben, bei der die Komponenten des Verschiebungsvektors nach den drei Kanten des Darbouxschen Trieders eingeführt werden. Diese Methode liefert wiederum eine Anzahl spezieller Sätze: Aus jeder infinitesimalen Biegung einer Minimalfläche mit einer Verschiebungsfunktion läßt sich durch Quadraturen eine zweite mit einer anderen Verschiebungsfunktion herleiten. Aus jeder infinitesimalen Biegung einer Fläche konstanten Krümmungsmaßes mit der charakteristischen Funktion \(\varphi\) ergibt sich durch Quadraturen eine zweite, deren charakteristische Funktion die Normalkomponente des Verschiebungsvektors ist. Im letzten Abschnitt werden spezielle Kurven auf den deformierten Flächen betrachtet. Die Stromkurven der Projektion des Verschiebungsvektors auf die Tangentialebene der Fläche werden ``Verschiebungskurven'' genannt, ihre Orthogonalen sind die ``Kurven ohne Verschiebung''. Die einzigen Flächen, auf denen die Kurven ohne Verschiebung aus Asymptotenkurven oder aus geodätischen Linien gebildet werden, sind die Regelflächen. Auf der Kugel sind die Kurven ohne Verschiebung aus Isothermen gebildet. --- Zum Schluß wird der Einfluß einer projektiven Transformation untersucht; die Kurven ohne Verschiebung sind dabei invariant.