Ein Beitrag zur Geometrie der Berührungstransformationen in der Ebene. (Q1502111)

Ist eine Schar von \(\infty^1\) Kurven vorgelegt, und denkt man sich für jeden Wert des Winkels \(\alpha\) die \(\infty^1\) Kurven konstruiert, die die Kurven der ersten Schar unter dem Winkel \(\alpha\) schneiden, so erhält man im ganzen \(\infty^2\) Kurven, die der Verf. als die isogonalen Trajektorien der vorgelegten Schar bezeichnet. In einer früheren Arbeit (s. F. d. M. 29, 491, 1898, JFM 29.0491.03) hatte der Verf. bewiesen, daß die Krümmungskreise aller \(\infty^1\) isogonalen Trajektorien (damals nannte er sie Loxodromen), die durch einen Punkt \(P\) gehen, noch einen zweiten Punkt \(Q\) gemein haben, und daß sie in \(Q\) die Krümmungskreise der \(\infty^1\) durch \(Q\) gehenden Kurven sind, die einer gewissen zweiten Schar von isogonalen Trajektorien angehören. Der Verf. gibt jetzt für diesen Satz, dessen erster Teil, wie er inzwischen bemerkt hat, schon in Cesàros Lezioni di geometria intrinseca (1896) vorkommt. Einen neuen, durchsichtigeren Beweis. Er benutzt dabei den Umstand, daß zu jeder Schar von \(\infty^2\) isogonalen Trajektorien eine Schar von \(\infty^1\) Berührungstransformationen der Ebene gehört; für jeden Wert von \(\alpha\) gibt es nämlich eine Berührungstransformation, die jeden Punkt \(P\) in die durch \(P\) gehende Gerade überführt, welche die durch \(P\) gehende Kurve der ursprünglichen Schar unter dem Winkel \(\alpha\) schneidet. Diese Schar von \(\infty^1\) Berührungstransformationen bestimmt umgekehrt die Schar der \(\infty^2\) isogonalen Trajektorien vollständig, und von ihr aus gelangt man durch eine einfache Konstruktion zu einer zweiten Schar von \(\infty^1\) Berührungstransformationen derselben Art, durch die die zweite Schar von Isogonalkurven bestimmt wird. Der Satz läßt sich verallgemeinern, wenn man die unendlich fernen imaginären Kreispunkte vermöge einer projektiven Transformation der Ebene durch zwei andere Punkte ersetzt.