Sur le théorème des aires et les systèmes conservatifs. (Q1502215)

Ein Massensystem heißt bekanntlich konservativ, wenn die inneren Kräfte ein Potential \(U\) besitzen, das durch die Konfiguration des Systems vollständig bestimmt ist, d. h. durch die Werte der gegenseitigen Abstände \(r_{jk}\) der Punkte \(M_j\) und \(M_k\) des Systems zu je zweien. Nun sei \(S\) ein konservatives System, von dem jedes Element mit sich identisch bleibt, sodaß der Zustand des Systems in einem Zeitpunkte \(t\) vollständig durch die Lage und die Geschwindigkeit jedes Elementes bestimmt ist; das System \(S\) werde ohne Geschwindigkeit im leeren Raume oberhalb des Bodens sich selbst überlassen. Ist es dann möglich, daß es zu einem Zeitpunkte \(t\) seine anfängliche Konfiguration, aber anders orientiert, im Raume wieder annimmt? Diese Frage ist im Jahre 1894 als Problem der Katze, die auf ihre vier Tatzen zurückfällt, erörtert worden. Wenn man das System nicht der Bedingung des Konservatismus unterwirft, lautet die Antwort bejahend. Man kann sogar Beispiele bilden, bei denen die Kräfte ein nicht eindeutiges Potential \(U\) besitzen. Ist dagegen das System \(S\) konservativ, so lautet die Antwort verneinend. Wenn \(S\) seine anfängliche Konfiguration annimmt, so ist diese sicherlich auf dieselbe Art im Raume orientiert. Diese bemerkenswerte Tatsache ist bisher nicht ausgesagt worden; ihrem Beweise ist die vorliegende Note gewidmet.