Über die Verwendung unvollständiger Integrale der Hamilton - Jacobischen partiellen Differentialgleichung. (Q1502220)

Ein System von \(2n\) kanonischen Differentialgleichungen, wie es z. B. in der Mechanik eine so wichtige Rolle spielt, kann, wie Jacobi gezeigt hat, allgemein integriert werden, sobald es gelingt, von einer gewissen partiellen Differentialgleichung ein vollständiges Integral zu erhalten, d. h. einen Ausdruck für die unbekannte Funktion \(V\), welcher außer einer additiven Konstante noch \(n\) unabhängige Integrationskonstanten enthält. Die allgemeinen Integrale der kanonischen Gleichungen ergeben sich dann in einfacher Weise durch partielle Differenzierungen von \(V\). Die gegenwärtige Abhandlung untersucht die Frage, ob für die Integration der kanonischen Gleichungen nicht auch ein unvollständiges Integral jener partiellen Differentialgleichung, d. h. ein Ausdruck von welcher außer der belanglosen additiven Konstante weniger als \(n\) unabhängige Integrationskonstanten enthält, irgend welchen Nutzen bietet. Dies ist in der Tat der Fall. Enthält \(V\) nur \(k\) unabhängige Konstanten \((k\leq n)\), so reduziert sich die Integration der \(2n\) kanonischen Differentialgleichungen auf die Integration von nur \(n - k\) Differentialgleichungen. Die übrigen \(n + k\) Integrale ergeben sich durch partielle Differenzierungen von \(V\). Das so erhaltene System von Integralen entspricht nur einem partikularen Integrale der kanonischen Differentialgleichungen; denn es enthält nicht \(2n\), sondern nur \(n + k\) willkürliche Konstanten. Der Fall \(n=k\), in welchem \(V\) ein vollständiges Integral der partiellen Differentialgleichung ist, bedeutet nur einen Spezialfall. Die Behandlung desselben, die sich in vielen mathematischen Werken findet, ist wohl kaum einfacher als die des hier untersuchten allgemeineren Falles.