Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage. (Q1502223)

Die Bewegungen, welche in der Abhandlung betrachtet werden, sind solche, die gemäß den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Form verlaufen: \[ \frac d{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q_i'}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = \frac{\partial\Pi}{\partial q_i}\qquad (i = 1,2,\dots,n). \] Für die Gleichgewichtslage, um welche es sich handelt, seien alle Koordinaten \(q_i\) gleich Null; die lebendige Kraft \(T = \sum a_{\mu\nu}q_\mu' q_\nu'\) in der Umgebung der Ruhelage kann so ausgedrückt gedacht werden, daß \[ (a_{ii})_0 = \frac12,\quad (a_{\mu\nu})_0 = 0 \] für \(\mu\gtrless\nu\), \(\left(\frac{\partial^2\Pi}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right)_0 = 0\). Die Koordinaten \(q_i\) werden in drei Gruppen geteilt. Je nachdem nämlich \(\left(\frac{\partial^2\Pi}{\partial q_\mu^2}\right)_0\) kleiner als 0, größer als 0 oder gleich 0 ist, werden die \(q_\mu\) stabile, instabile oder singuläre Koordinaten genannt. Die behandelte Aufgabe lautet: Es soll die Existenz und Mannigfaltigkeit derjenigen Bewegungen festgestellt werden, welche für einen wenigstens einseitig unbegrenzten Zeitraum in der Nähe der Gleichgewichtslage verlaufen, unter der Voraussetzung, daß keine singulären Koordinaten vorkommen. Man kann dabei folgende drei Fälle unterscheiden: 1. Es kommen nur stabile Koordinaten vor. Ein bekannter Satz von Dirichlet erledigt die Aufgabe. 2. Es kommen nur instabile Koordinaten vor. Diese Frage ist durch die Arbeiten von Kneser (1895 und 1897), Karstens (1901), die im Jahrbuche besprochen sind, und eine russische Arbeit des Verf. (``Über gewisse Differentialgleichungen allgemeinen Charakters, die in der Mechanik Anwendung finden''. Diss. Dorpat 1900; F. d. M. 31, 358-359, 1900, JFM 31.0358.01) zum Abschlusse gebracht worden. 3. Es kommen stabile und instabile Koordinaten vor. Die Untersuchung dieses Falles bildet den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung. Liegt in diesem Falle eine genügend klein gewählte Umgebung \(M\) der Gleichgewichtslage vor, definiert durch \(-a_i < q_i < a_i\), so gibt es immer unendlich viele Bewegungen, welche für genügend große \(t\) stets in \(M\) verbleiben. Wählt man sämtliche Koordinaten und die Geschwindigkeiten kleiner als gewisse \(M\) zugeordnete positive Zahlen, sonst aber völlig willkürlich, so existiert eine und nur eine Bewegung, welche in einem gegebenen Moment mit den vorgeschriebenen Koordinaten und Geschwindigkeiten beginnt und für größere \(t\) im Gebiete \(M\) bleibt. Indem man die Anfangskoordinaten und Anfangsgeschwindigkeiten der stabilen Koordinaten absolut genügend klein wählt, kann man erreichen, daß bei den eben charakterisierten Bewegungen sämtliche Koordinaten und sämtliche Geschwindigkeiten absolut beliebig klein bleiben. Unter den genannten Bewegungen gibt es auch immer unendlich viele solche, welche für alle \(t\) in \(M\) bleiben. Wählt man die stabilen Koordinaten und ihre Geschwindigkeiten absolut genügend klein, sonst beliebig, so gibt es eine und nur eine Bewegung, welche in einem gegebenen Moment die vorgeschriebenen Werte der stabilen Koordinaten und ihrer Geschwindigkeiten besitzt und für alle \(t\) (größere und kleinere) in \(M\) bleibt. Indem man die Werte der stabilen Koordinaten und ihrer Geschwindigkeiten für den gegebenen Moment absolut genügend klein wählt, kann man erreichen, daß sämtliche Koordinaten und Geschwindigkeiten für alle \(t\) absolut beliebig klein sind. Wir müssen darauf verzichten, die weiteren Resultate der umfangreichen analytischen Untersuchungen, von deren Ergebnissen wir einige Proben gegeben haben, hier auch nur anzudeuten. Doch wollen wir erwähnen, daß auch die bezüglichen Arbeiten von Hadamard gelegentlich besprochen sind (F. d. M. 27, 615, 1896, JFM 27.0615.02; 28, 643, 1897, JFM 28.0643.01; 29, 618, 1898, JFM 29.0618.01).