Sopra la equazione di Kepler. (Q1502233)

Für ein hinreichend kleines \(e\) definiert die Keplersche Gleichung \(u - e\sin u = \zeta\) eindeutig \(u\) als reguläre Funktion von \(e\) und vom Parameter \(\zeta\). Die bekannte Entwicklung von \(u\) durch die Lagrangesche Reihe nach Potenzen von \(e\) konvergiert, wenn \(\zeta\) jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann, nach den Untersuchungen von Rouché (J. de l'Éc. Pol. Cah. 39, 1862) für Werte von \(e\), die kleiner als \(0,6627 = e_1\) sind. Läßt man aber für \(\zeta\) alle reellen Werte zu, so ist \(u\) in einem größeren Felde \(\Gamma\) regulär als im Kreise \(|e| = e_1\); \(\Gamma\) umfaßt unter anderem alle Punkte des Segmentes (0, 1). Die Untersuchung der Grenzen des Feldes \(\Gamma\) ist der Gegenstand der vorliegenden Abhandlung; sie führt zu einer analytischen Darstellung der Funktion \(u\), die für alle Punkte dieses Feldes gilt, und hat das folgende Ergebnis: Die Funktion \(u\) von \(e\), welche durch die Keplersche Gleichung definiert wird, ist (für jeden reellen Wert von \(\zeta\)) in eine Potenzreihe des Argumentes \[ \eta = \frac{eE^{\sqrt{1-e^2}}}{1 + \sqrt{1-e^2}} \] entwickelbar, wo \(E\) die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet und \(\sqrt{1-e^2}\) denjenigen Wert der Quadratwurzel bezeichnet, der sich für \(e=0\) auf 1 reduziert. Die Reihe konvergiert im Kreise \(|\eta| = 1\), dem in der Ebene der \(e\) das ganze Regularitätsfeld \(\Gamma\) der Funktion \(u\) entspricht.