The asymptotic solution of certain transcendental equations. (Q1502364)

Es sei vorgelegt die Gleichung \(e^{G(x)} = \frac {\varphi (x)}{\psi (x)} \) , wo \( \varphi, \psi, G \) ganze rationale Funktionen bedeuten, \(G\) vom \(p\)-ten Grade ist und mit den Gliedern \(i.x^p + (a_1 + i \cdot b_1) \cdot x^{p - 1} + \cdots \) beginnt. \(p\) wird zunächst \(\geqq 2\) vorausgesetzt. Um die Wurzeln \(x = \xi + i \eta = r \cdot e^{i \vartheta}\) zu finden, deren Amplitude \(\vartheta\) sehr klein ist, leitet der Verf. aus der gegebenen Gleichung zwei andere her, indem er erstens die absoluten Beträge beider Seiten gleich und zweitens die Differenz ihrer Amplituden gleich einem beliebigen Vielfachen (dem \(k\)-fachen) von \( 2 \pi\) setzt. Die erste Gleichung stellt eine Kurve dar, welche sich asymptotisch der Geraden \(\eta = \frac {a_1}{p} \) nähert, die zweite dagegen eine Schar von Kurven, deren jede die erste in einem einzigen Punkte schneidet, und diese Schnittpunkte sind Wurzeln der vorgelegten Gleichung, für welche man dementsprechend die Näherungswerte \( \root p \of {2 k \pi} - \frac {b_1}{p} + i \; \frac {a_1}{p} \) hat. Eine andere Reihe von Wurzeln derselben Gleichung, deren Amplitude sich wenig von \(\vartheta = \frac {2 m \pi}{p}\) unterscheidet (für \(m = 1, 2, \dots, p-1)\), findet man, indem man die Gleichung durch die Substitution \(x = e^{\frac {2 m \pi i}{p}} \cdot y\) transformiert und in der vorher angegebenen Art die in der Richtung \( \vartheta = 0\) liegenden Wurzeln der neuen Gleichung aufsucht. Der Fall \(p = 1\) bedarf einer besonderen Behandlung. Die Gleichung \({\sin}G(x) = \frac {\varphi (x)}{\psi (x)} \) kann in ähnlicher Weise gelöst werden. Ausführlich erledigt wird noch die sich etwas anders gestaltende Behandlung der Gleichungen \( e^{a x} \cdot {\sin} b x = c \) und \(e^{a x} \cdot {\sin} b x = \) einer ganzen rationalen Funktion \(P(x)\), während für die Gleichungen \[ \prod_1^{\infty} \left( 1 + \underset{(\varrho>1)}{\frac {x}{n^{\varrho}}}\right) = c, \quad \text{bezügl.} = P(x) \] nur die Resultate mitgeteilt werden.