Zur Theorie der kanonischen Formen. (Q1502372)

Bei algebraisch-geometrischen Untersuchungen war früher die Methode der kanonischen Formen sehr in Gebrauch. Die Frage, ob eine ``allgemeine'' Form (oder ein System solcher) in eine vorgeschlagene kanonische Gestalt gebracht werden könne, wurde zumeist durch Abzählung der Konstanten entschieden, bis sich zeigte, daß\ dabei erhebliche Irrtümer möglich seien. \textit{Kronecker} gab eine Methode, die auf dem Verschwinden der Funktionaldeterminante beruhte, um zu entscheiden, ob eine vorgelegte Form die richtige Konstantenanzahl besitzt. Der Verf. entnimmt dem Prinzip dieser Methode ein einfacheres Verfahren. Man vergleiche übrigens aus neuerer Zeit die kritischen Bemerkungen von \textit{Richmond} (F. d. M. 33, 127, 1902, JFM 33.0127.02), sowie die rein geometrische Methode der Darstellung von Formen als Summen von Potenzen linearer Formen durch \textit{Palatini} (F. d. M. 34, 131, 1903, siehe JFM 34.0131.01 u. JFM 34.0131.02). Das Prinzip werde durch ein Beispiel illustriert. Seien \(a_x, b_x, \dots, e_x\) fünf lineare ternäre Formen mit 15 ``unbestimmten Konstanten'': \[ a_i, b_i, \dots, e_i \quad (i = 1, 2, 3). \] Wieviel Bedingungen lassen sich der Kurve \(f\equiv a_x^4 + \cdots + e_x^4 = 0 \) auferlegen? Nach den Variabeln \(x_i\) geordnet sei \[ (1) \quad f = \varphi_{400} x_1^4 + \varphi_{310} x_1^3 x_2 + \cdots + \varphi_{004} x_3^4. \] Die 15 Größen \(\varphi\) sind Funktionen der 15 Größen \(a_i, \dots, e_i\) und immer dann unabhängig von einander, wenn deren Funktionaldeterminante \(\varDelta\) nicht identisch verschwindet; die \(\varphi\) sind dagegen durch \(\alpha\) Funktionalbeziehungen verknüpft, wenn die \((\alpha - 1)\)-ten Minoren von \(\varDelta\) für alle Wertsysteme der \(a_i, \dots, e_i \) verschwinden. Verschwinden aber die \((a - 1)\)-ten Minoren von \(\varDelta\) identisch, so bestehen zwischen den 15 Linearformen, deren Koeffizienten die \(\frac {\partial \varphi}{\partial a_1}, \cdots, \frac {\partial \varphi}{\partial e_3} \) sind, \(\alpha\) lineare Abhängigkeiten. Versteht man also unter \( \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_{15} \) 15 Unbestimmte und bildet jene 15 Linearformen, differenziert sodann die Identität nach den \(x_i\), so ergiebt sich, daß\ \(\alpha\) linear unabhängige Systeme von Formen \[ a_x' = x_1 \eta_1 + x_2 \eta_2 + x_3 \eta_3, \; b_x' = x_1 \eta_4 + x_2 \eta_5 + x_3 \eta_6, \dots \] existieren, welche die Gleichung: \[ (2)\quad a_x^3 a_x' + b_x^3 b_x' + c_x^3 c_x' + d_x^3 d_x' + e_x^3 e_x' = 0 \] befriedigen. Diese Gleichung ist also zur Bestimmung von \(\alpha\) geeignet. Hat sie \(\alpha\) unabhängige Systeme von Lösungen, so muß\ eine ternäre Form vierter Ordnung \(\alpha\) Beziehungen genügen, um in der Gestalt \(a_x^4 + \cdots + e_x^4\) darstellbar zu sein. Die Diskussion der Gleichung zeigt aber, daß\ \(\alpha = 1\), da es bei allgemeiner Lage der \(a_x, \dots, e_x\) nur eine einzige ternäre Form vierter Ordnung gibt (nämlich das Quadrat des durch \(a,\dots, e\) gelegten Kegelschnitts), die \(a, \dots, e \) zu Doppelpunkten besitzt. Die ternären Formen vierter Ordnung haben daher genau \textit{einer} Bedingung zu genügen, um durch \(a_x^4 + \cdots + e_x^4\) darstellbar zu sein. Diese Bedingung sagt aus, daß\ ein zu \(f\) apolarer Kegelschnitt existiert. Auf Grund analoger Betrachtungen läßt sich der entsprechende allgemeine Satz aufstellen und beweisen. Um noch ein zweites Beispiel anzuführen, so ist eine ternäre Form vierter Ordnung stets in der Form \(a^2 + b^2 + c^2\) darstellbar.