Sulle metriche definite da una forma \textit{Hermitiana}. Nota. (Q1502400)

Bekanntlich ist die arithmetische Theorie der auf den Typus \[ z_1^2 + \cdots + z_{n - 1}^2 \pm z_n^2 \] reduzibeln quadratischen Formen (mit ganzzahligen Koeffizienten) eng verknüpft mit der Theorie der Räume konstanter Krümmung; die zu einer solchen Form gehörige arithmetische Gruppe läßt sich auffassen als eine Gruppe von Bewegungen jenes Raumes. Eine analoge Erscheinung, wie der Verfasser in einer früheren Arbeit (F. d. M. 34, 126, 1903, JFM 34.0126.02) gezeigt, bietet sich bei denjenigen \textit{Hermite}schen Formen dar, die auf den Typus \[ z_1 z_1^0 + \cdots + z_{n - 1} z_{n - 1}^0 \pm z_n z_n^0 \] (wo \(z_i^0\) konjugiert komplex zu \(z_i\)) reduzierbar sind; der Gruppe \(G\) einer solchen Form entspricht eine Gruppe \(\varGamma\) von Bewegungen in einer ``Metrik'', die sich durch eine quadratische Differentialform mit einer kontinuierlichen Gruppe von Bewegungen definieren läßt. Ist \(G\) diskontinuierlich, so wird \(\varGamma\) eigentlich-diskontinuierlich. Man setze \[ \frac {z_i}{z_n} = u_i = x_i + i y_i \quad (i = 1, 2, \dots, n - 1), \;u_i^0 = x_i - i y_i. \] Der Gruppe \(G\) der \(z\) entspricht eine projektive Gruppe der \(u\) , wobei man sich auf reelle \(x_i, y_i\) beschränken kann. Diese reelle Gruppe \( \varGamma \) der \(x_i, y_i\) führt die quadratische Gleichung \[ (1) \quad \sum_1^{n - 1} (x_i^2 + y_i^2) \pm 1 = 0 \] in sich über. Zwei Punkte besitzen stets eine reelle Invariante \(A\) in bezug auf die betrachteten Gruppen, d. h. \(A\) bleibt invariant bei allen Transformationen \(T\) der \(u\), die die Gleichung (1) oder auch \(\sum u_i u_i^0 \pm 1 = 0\) in sich überführen. Dem Studium dieser Transformationen und der Invariante \(A\) ist die vorliegende Arbeit gewidmet. Es gilt sodann zunächst der Satz, daß, wenn eine Gruppe \(\varGamma\) von Transformationen \(T\) keine infinitesimalen Transformationen enthält, \(\varGamma\) notwendig aus einer endlichen Anzahl von Transformationen zusammengesetzt sein muß. Geht man nunmehr zu Gruppen \(\varGamma\) von endlich vielen Transformationen über, so zeigt sich, daß\ die Fundamentalgebiete solcher Gruppen höchstens zwei getrennte Netze bilden, deren einzige Grenzpunkte durch (1) geliefert werden. Der vorhergehende Satz ist umkehrbar, so daß\ das Problem, die endlichen Gruppen von Kollineationen zu bestimmen, auf das engste mit der Theorie der vorliegenden Metriken verknüpft ist: Für \(n = 2\) liegt die Kreisgleichung vor: \[ (3) \quad x_1^2 + y_1^2 - 1 \equiv u_1 u_1^0 - 1 = 0 . \] Sei \(C, D\) irgend ein Punktepaar der Ebene, \(K\) der durch \(C, D\) gehende Kreis, der den Kreis (3) senkrecht in \(E, F\) schneidet. Das Doppelverhältnis der vier Punkte \(C, D, E, F\) ist dann eine Invariante in obigem Sinne; der Logarithmus \(\varDelta\) dieses Doppelverhältnisses stellt die nichteuklidische Entfernung \(\overline {CD}\) dar bis auf einen konstanten Faktor. Man bilde die Verbindung \[ R = \frac {\sqrt A + \sqrt {A - 1}}{\sqrt A - \sqrt {A - 1}} \,, \] so wird \(\delta = \frac 12\, \varDelta = \frac 12 \,l R \). Dann ist \(\delta\) genau die Distanz der beiden Punkte \(C, D\) in der vorliegenden Metrik, sie ist zugleich die geodätische Distanz. Diese geometrischen Eigenschaften werden weiter verfolgt; es sei etwa noch der Satz erwähnt, daß\ der Ort der von den beiden Punkten \(C, D\) gleichweit entfernten Punkte geliefert wird durch die geodätischen Linien, die auf der vom Mittelpunkt von \(CD\) ausgehenden geodätischen Linie senkrecht stehen.