Zur Gruppentheorie mit Anwendungen auf die Theorie der linearen homogenen Differentialgleichungen. (Q1502418)

Hat man eine Gruppe \(\mathfrak G\) linearer homogener Substitutionen in \(n\) Variablen, und bedeutet \(r > 1\) eine ganze positive Zahl, so kann man zu \(\mathfrak G\) drei homographe Gruppen bestimmen (\textit{A. Hurwitz} ``Zur Invariantentheorie'', Math. Ann. 45, 381 ff.), nämlich: 1. die Gruppe \(\varPi_r {\mathfrak G}\) der \(r\)-ten Produkttransformationen in \(n^r\) Variablen, 2. die Gruppe \(P_r {\mathfrak G}\) der \(r\)-ten Potenztransformationen in \(\frac {(n + r - 1) (n + r - 2) \dots n}{1.2 \dots r}\) Variablen, 3. die Gruppe \(C_r {\mathfrak G}\) der \(r\)-ten Determinantentransformationen in \(\frac {n (n - 1) \dots (n - r + 1)}{1.2 \dots r}\) Variablen, die nur für \(r \leqq n\) existiert. Auf elementarem Wege wird gezeigt, daß\ die Gruppe \(\varPi_r {\mathfrak G}\) stets reduzibel ist und \(P_r {\mathfrak G}\) wie \(C_r {\mathfrak G}\) als zwei ihrer Teilgruppen erscheinen. Man kann also \(\varPi_r {\mathfrak G}\) linear in eine ähnliche Gruppe, die sich symbolisch \[ \begin{matrix} P_r {\mathfrak G} & 0 & 0 \\ 0 & C_r {\mathfrak G} & 0 \\ {\mathfrak A}_{31} & {\mathfrak A}_{32} & {\mathfrak A}_{33} \end{matrix} \] schreiben läßt, transformieren. Dieses Resultat ist nur ein spezieller Fall allgemeiner \textit{J. Schur}scher Sätze, und aus den Untersuchungen \textit{J. Schurs} folgt noch weiter, daß\ man \({\mathfrak A}_{31}\) und \({\mathfrak A}_{32}\) beide gleich Null wählen kann. (\textit{J. Schur}, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Berliner Dissertation, 1901. Vgl. auch \textit{A. Loewy}, Über die vollständig reduziblen Gruppen, die zu einer Gruppe linearer homogener Substitutionen gehören. American M. S. Trans. 6, 507). Hat man eine lineare homogene Differentialgleichung \((D)\), so kann man entsprechend den Operationen \(\varPi_r, P_r\) und \(C_r\) mit \((D)\) dreifach unendlich viele Systeme von ebenfalls linearen homogenen Differentialgleichungen verbinden. Es sei beispielsweise folgender Satz angeführt: ``Bildet man sich die \(n^r\) Funktionen \[ \frac {d^{\lambda_1} x_{i_1}}{d t^{\lambda_1}}\;\frac {d^{\lambda_2} x_{i_2}}{d t^{\lambda_2}} \cdots \frac {d^{\lambda_r} x_{i_r}}{d t^{\lambda_r}}, \] wobei \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r\) irgend \(r\) feste, verschiedene ganze positive Zahlen sind, \(i_1, i_2, \dots, i_r\) jede der Zahlen \(1, 2, \dots, n\) bedeuten \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ein Fundamentalsystem von Integralen einer linearen homogenen Differentialgleichung \((D)\) \(n\)-ter Ordnung mit rationalen Koeffizienten sind, so stellen die linear unabhängigen unter den \(n^r\) Funktionen ein Fundamentalsystem von Integralen einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung \(\leqq n^r\) mit ebenfalls rationalen Koeffizienten dar. Diese Differentialgleichung ist mit \(\varPi_r^{\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_r} (D) = 0\) zu bezeichnen. Betrachtet man die unendliche Anzahl dieser linearen homogenen Differentialgleichungen \(\varPi_r^{\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_r} (D) = 0\), die zu der linearen homogenen Differentialgleichung \(D = 0\) gehören und den verschiedenen möglichen Werten für die unter einander verschiedenen ganzen positiven Zahlen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r\) entsprechen, so ist jede dieser Differentialgleichungen \(\varPi_r^{\lambda_1 \lambda_2\dots \lambda_r} (D) = 0\) mit einer jeden unter derselben, deren Ordnung wirklich die Maximalzahl \(n^r\) erreicht, von derselben Art.'' Ähnliche Resultate gelten für die den Operationen \(C_r\) und \(P_r\) entsprechenden linearen homogenen Differentialgleichungen. Die Differentialgleichung \(\varPi_r^{\lambda_1\lambda_2\dots \lambda_r} (D) = 0\) ist stets reduzibel; sie wird durch sämtliche Integrale sowohl von \(P_r^{\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_r} (D) = 0\), als auch von \(C_r^{\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_r} (D) = 0\), wenn letztere Differentialgleichung existiert, d. h. wenn \(r \leqq n\), befriedigt. Für \(\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 2, \dots, \lambda_r = r - 1\) ist die Differentialgleichung \(C_r^{\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_r} (D) = 0\) die von \textit{Ludw. Schlesinger} (Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen \(\text{II}_1)\) im Anschluß\ an \textit{Forsyth} so genannte \((n - r)\)-te assoziierte Differentialgleichung von \(D = 0\). Man könnte auch, worauf ich hier noch hinweisen möchte, wenn man \({\mathfrak A}_{31} \equiv {\mathfrak A}_{32} \equiv 0\) gewählt hat, die \(\mathfrak A_{33}\) entsprechende Gruppe näher untersuchen und die \(\mathfrak A_{33}\) entsprechende, zu \(D = 0\) zugeordnete lineare homogene Differentialgleichung studieren.