On the order of linear homogeneous groups. (second paper.) (Q1502421)

Von \textit{C. Jordan} (J. für Math. 84) stammt folgender Fundamentalsatz: Jede endliche Gruppe \({\mathfrak G}\) linearer homogener Substitutionen in \( n \) Variabeln besitzt eine invariante \textit{Abel}sche Untergruppe der Ordnung \( f \); die Ordnung von \(\mathfrak G\) ist \(\lambda f\), hierbei ist \( \lambda \) kleiner als eine feste, nur von \(n\) allein abhängige Zahl. In einer früheren, unter dem gleichen Titel veröffentlichten Arbeit (American M. S. Trans. 4, 387-397; F. d. M. 34, 176, 1903, JFM 34.0176.02) hatte Verf. bewiesen: Die Ordnungszahl jeder endlichen primitiven Gruppe \({\mathfrak G}'\) linearer homogener Substitutionen der Determinante 1 in \(n\) Variabeln ist durch keine Primzahl, die größer als \((n - 1) (2n + 1)\) ist, teilbar. In dem gegenwärtigen Aufsatze weist er nach, daß, wenn die \(N\)-te Potenz einer Primzahl \(p\) in der Gruppenordnung von \({\mathfrak G}'\) enthalten ist, \(N\) sicherlich nicht größer als die nur von \(n\) und \(p\) abhängige Zahl \[ \frac {n}{p - 1} + (n - 1) \; \left( 1 + \frac {\log n^2 A}{\log p} \right) \] ist; dabei ist \(A\) das höchste Glied der Entwicklung von \((1 + 1)^n\). Bezeichnet man die Ordnung von \({\mathfrak G}'\) mit \(\lambda\), so kann man demnach eine Zahl finden, die durch die Ordnung \(\lambda\) einer jeden primitiven Gruppe linearer homogener Substitutionen der Determinante 1 in \(n\) Variabeln teilbar sein muß. Ist \({\mathfrak G}\) eine endliche, primitive Gruppe linearer homogener Substitutionen, die nicht ausnahmslos die Determinante 1 besitzen, so gibt es eine zu ihr isomorphe primitive Gruppe \({\mathfrak G}'\) der Ordnung \(\lambda\) mit Substitutionen der Determinante 1, und \(\mathfrak G\) hat die Ordnung \(\lambda f\). Die Zahl \(f\) ist die Ordnung einer invarianten Untergruppe von \({\mathfrak G}\), die nur aus Ähnlichkeitssubstitutionen, d. h. solchen der Form \[ x_i' = \alpha x_i \quad (i = 1, 2, \dots, n), \] besteht. Hiermit hat man für jene besondere Klasse endlicher irreduzibler Gruppen, die Verf. in der früheren Arbeit primitiv genannt hat, den \textit{Jordan}schen Satz bewiesen und gleichzeitig, was der \textit{Jordan}sche Beweis nicht leistet, durch Angabe einer Zahl, die \(\lambda\) als Faktor enthält, eine obere Grenze für \(\lambda\) gefunden. Verf. bestimmt alle primitiven endlichen Gruppen in drei Variabeln. Von bemerkenswerten Sätzen der Arbeit heben wir nur folgenden hervor: Eine endliche Gruppe linearer homogener Substitutionen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, kann in semikanonische Form, gebracht werden, d. h. sie ist einer Gruppe ähnlich, deren Substitutionen ausnahmslos \[ x_i' = \alpha_i x_{\lambda i} \;(i = 1, 2, \dots, n) \] lauten; hierbei sind die Größen \(\alpha_i\) \((i = 1, 2, \dots, n)\) ein System von Konstanten und \(\lambda_i\) \((i = 1, 2, \dots, n)\) irgend eine Permutation der Zahlen \(1, 2, \dots, n.\)