Note über die symmetrischen Funktionen der zwei algebraischen Gleichungen gemeinsamen Wurzeln. (Q1502498)

\textit{Abel} hat in einer wenig beachteten Arbeit ``Recherches de la quantité \(\dots\)'' für einen besonderen Fall die Theorie des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzen Funktionen auf die Theorie der symmetrischen Funktionen direkt zurückgeführt. Die zwei ganzen Funktionen seien \[ f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_n) \] und \(g(x)\); sie sollen nur einfache Wurzeln besitzen und die einzige Wurzel \(x_1\) gemein haben. Versteht man unter \(\vartheta(x)\) eine beliebige rationale Funktion von \(x\), die nur für keines der \(x_{\lambda}\) unendlich und für \(x_1\) nicht Null werden soll, unter \(f_{\lambda}\) die ganze Funktion \(\frac {f(x)}{x - x_{\lambda}}\), endlich unter \(R(g, f_{\lambda})\) die Resultante von \(g\) und \(f_{\lambda}\), so gibt \textit{Abel} für eine rationale Funktion \(\frac {F(x_1)}{G(x_1)}\) von \(x_1\) den Ausdruck: \[ \frac {\sum_{\lambda = 1}^n \frac {F(x_{\lambda})}{G(x_{\lambda})}\, \vartheta(x_{\lambda}) R(g, f_{\lambda})}{\sum_{\lambda = 1}^n \vartheta (x_{\lambda}) R(g, f_{\lambda})}\,. \] Ersetzt man hier \(\frac{F(x_{\lambda})}{G(x_{\lambda})}\) durch \(x-x_{\lambda}\), so hat man die \textit{Abel}sche Darstellung des größten gemeinsamen Teilers \(x - x_1\) von \(f\) und \(g\). \textit{Kronecker} hat das ausgedehnt auf einen Teiler beliebigen Grades; unter gewissen Bedingungen bleibt diese Darstellung nach dem Verf. (F. d. M. 32, 99, 1901, JFM 32.0099.01) auch bei mehrfachen Wurzeln von \(f\) und \(g\) bestehen und läßt sich weiterhin ausdehnen auf die Darstellung irgend einer rationalen symmetrischen Funktion der \(r\) den Gleichungen \(f = 0\), \(g = 0\) gemeinsamen Wurzeln. Dies wird hier angewandt auf die Bedingungen, daß\ drei ganze Funktionen einen größten gemeinsamen Teiler vom Grade \(s \leqq r\) besitzen, wenn zwei von ihnen einen solchen vom Grade \(r\) haben, sowie auf die Bedingungen, unter denen eine ganze Funktion vom Grade \(n\) genau \(r\) verschiedene Wurzeln besitzt, von denen \(r - s\) \((s \leqq r)\) einfach sind.