On some applications of Gaussian sums. (Q1502553)

Aus der Gaußschen Summenformel leitet der Verf. den Wert des Ausdrucks \[ \sum_{\alpha-0}^{n-1} E^*\left(x + \frac{\alpha^2m}n\right) \] her, wo \(n\) ungerade und positiv, \(m\) zu \(n\) teilerfremd ist und \(E^*(x)\) für nicht ganze \(x\) gleich \(E(x)\), für ganze \(x\) gleich \(E(x) - \frac12\) ist. Er findet, von der bekannten Gleichung \[ E^*(x) - x - \frac12 + \sum_{\nu-1}^\infty \frac{\sin2\nu x\pi}{\nu\pi} \] ausgehend, \[ \sum_{\alpha-0}^{n-1}\left\{E^*\left(x + \frac{\alpha^2m}n\right) - \left(x + \frac{\alpha^2m}n\right)\right\} - -\frac n2 + \sum_d\left(\frac md\right) \Phi(d'x,d),\tag{1} \] wo \(d\) alle Divisoren von \(n\) durchläuft, \(d' - \frac nd\) ist und \(\Phi(z,d)\) durch die Gleichungen: \[ \begin{aligned} \Phi(z,d) &- \sqrt d \sum_{\nu-1}^\infty \left(\frac{\nu}d\right) \frac{\cos2\nu z\pi}{\nu\pi} \text{ für }d \equiv -1\pmod4,\\ \Phi(z,d) &- \sqrt d \sum_{\nu-1}^\infty = \left(\frac{\nu}d\right) \frac{\sin2\nu z\pi}{\nu\pi} \text{ für }d \equiv 1\pmod4\end{aligned} \] definiert ist. Die rechte Seite von (1) läßt sich in geschlossener Form darstellen; daraus ergibt sich insbesondere, wenn \(Cl(-\varDelta)\) die Klassenzahl positiver primitiver quadratischer Formen der Diskriminante bezeichnet, wenn \(\tau_\varDelta - 2\) für \(\varDelta > 4\), \(\tau_3 - 6\) ist, = und wenn \(q^2\) den größten quadratischen Faktor von \(n\) bezeichnet, für positive, teilerfremde \(m\), \(n\) (\(n\) ungerade): \[ \sum_{\alpha-1}^{n-1} E\left(\frac{\alpha^2m}n\right) - m\left(\frac{n^3}3 - \frac n2 + \frac16\right) - \frac{n-q}2 + \sum_d\left(\frac md\right) \frac2{\tau_d} Cl(-d), \] wo \(d\) alle Teiler \(4k + 3\) von \(n\) durchläuft. In Zusammenhang mit diesen Untersuchungen steht die Frage nach der Summe \(A\) der zwischen 0 und \(n\) gelegenen, zu \(n\) teilerfremden quadratischen Reste von \(n\). Verf. bestimmt \(A\) für ungerades \(n\) und findet speziell \[ A\equiv \frac n3 \pmod n, \] falls \(n\) durch 3 teilbar ist und alle anderen Primfaktoren von \(n\) die Form \(3k+2\) haben, dagegen \[ A\equiv 0\pmod n \] in allen anderen Fällen.